【抽象代数】主理想整环

1、一个整环是主理想整环，如果它的所有理想都是主理想。

3、主理想整环R的每个既约元是素元。假设p是既约元，但是不是素元，那么(p)就是极大理想，所以R/(p)是一个域。p不是素元，那么必定存在m和n，使得p|mn，但是p∤m且p∤n；进而，(m+(p像粜杵泳))(n+(p))=mn+(p)=(p)。由于域里面没有零因子，所以有(m+(p))=(p)或(n+(p))=(p)，与p∤m且p∤n矛盾。

5、主理想整环R不存在理想的无限升链。反设I1⊂I2⊂I3⊂……是R的无限升链，那么I=I1∪I2∪I3∪……就是R的一个理想，进而I是主理想，记I=(a)。设a∈In，有(a)⊂In；另外，In⊂I=(a)，所以，(a)=In，与无限升链的假设矛盾。