【平面几何】怎么了解直线的垂心变换像？

1、给定两定点A和B，连接直线AB。在直线外任取动点C，然后构造△ABC的垂心D。

2、选中C和D，创建自定义变换，命名为【垂心变换】。

3、此时，在这个课件里面，就有了【垂心变换】工具了。

4、选择一个几何图形，再点击【垂心变换】工具按钮，就可以得到相应的变换像。

这就是网络画板【自定义变换】功能的便捷之处。

1、做任意不与直线AB重合的直线l（绿色），再构造直线l的垂心变换像（红色），可以发现，得到的曲线很像【双曲线】。

2、改变直线l的位置，【双曲线】的位置也随之改变。

1、使用Mathematica进行符号计算，来确定直线的垂心变换像的参数方程。

假设A和B的横坐标分别是±1，纵坐标是0，C的坐标是{m,n}，求出D的坐标。

DD = Solve[{(AA - {x, y}).(BB - CC) == 0,

     (BB - {x, y}).(AA - CC) == 0}, {x, y}] // Values // Flatten。

2、用自定义函数，写出【垂心变换】的变换规则。

chuixinbianhuan[{m_, n_}] := {m, -((-1 + m^2)/n)}。

3、对直线y=k*x+b进行【垂心变换】，需要用到直线的参数方程。

chuixinbianhuan[{t, k*t + b}]。

得到的是变换像的参数方程。

4、消去参数t，算出变换像的隐函数方程。

Eliminate[{x, y} == chuixinbianhuan[{t, k*t + b}], t]。

方程式是：x^2 + k x y == 1 - b y（k和b不全为0，否则直线y=k*x+b就与直线AB重合）。

缺少y的二次项，显然不会是椭圆；

如果k=0，那就是抛物线，否则就是双曲线。