数列前n项和的公式，可用连续数字的乘积推导
、学知识，我们都希望原理清楚，知道公式定理是怎么得来的，正如平面图形的面积公式、立体图形的体积公式，记起来又轻松又牢固。 中学数学的数列知识，讲到了十几个常用数列，可是这些数列，几乎大多都看不出，前 n 项和的公式是怎么得到的，前 n 项和的公式记起来就相当麻烦了，怎么办呢？ 告诉大家，我找到规律，这些数列和，都可用连续数字的乘积推导出来，我们一起看看吧。 让我们在原料堆里面，先把这些常用数列分成几大类吧。
工具/原料
、1+ 2+ 3+ 4 +……+ n = n(n+1)/2 2+ 4+ 6+ 8 +……+ 2n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ 7 +……+ 2n-1 = n" 自然数、偶数、奇数的数列，都是等差数列，最简单了
、1X2 + 2X3 + 3X4 + 4X5 +……+ n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3 1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5 + 4X5X6 +……+ n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4 1+ 3+ 6+ 10 +……+ n(n+1)/2 = n(n+1)(n+2)/6 1/(1X2) + 1/(2X3) + 1/(3X4) + 1/(4X5) +……+ 1/n(n+1) = n/(n+1) 1/(1X2X3) + 1/(2X3X4) + 1/(3X4X5) +……+ 1/n(n+1)(n+2) = (1/2)[ 1/2 - 1/(n+1)(n+2) ] 连续数字乘积的数列，通项式与数列和，好像有什么联系
、1X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 +……+ n" = n(n+1)(2n+1)/6 1X1 + 3X3 + 5X5 + 7X7 +……+ (2n-1)" = n(4n" -1)/3 1X1X1 + 2X2X2 + 3X3X3 + 4X4X4 +……+ n^3 = [ n(n+1)/2 ]" 1X1X1 + 3X3X3 + 5X5X5 + 7X7X7 +……+ (2n-1)^3 = n"(2n" -1) 自然数、奇数，二次方、三次方的数列，公式等着我们自己推导找关系
先看看连续数字的乘积，数列和究竟怎么回事
1、1X2 + 2X3 + 3X4 +……+ n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3 连续两个数栓疠瑕愤字乘积的数列 通项是 n(n+1) ，前 n 项的和为什么是 n(n+1)(n+2)/3 呢？ 让我们取数列的前三项，算一算吧 1X2 + 2X3 + 3X4 = 1X2X3/3 + 2X3X3/3 + 3X4X3/3 = [ 1X2X3 + 2X3X(4-1) + 3X4X(5-2) ] / 3 = [ 1X2X3 - 1X2X3 + 2X3X4 - 2X3X4 + 3X4X5 ] / 3 = 3 X 4 X 5 / 3 = 3 (3+1) (3+2) / 3 哦，数列通项 n(n+1) ，前 n 项的和 n(n+1)(n+2)/3 ，原来有这样的关系 数列各项的 n(n+1) 乘以 3 之后，就可以变成 n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1) ，原来连续两个数字的乘积，就成了两组连续三个数字乘积的差； 当然，第一项的 1X2 ，就因为 0X1X2 = 0，不见有 (n-1)n(n+1) ； 后面各项的 (n-1)n(n+1) ，都正好与前一项的 n(n+1)(n+2) 正负相等，相互抵消，只剩下最后一项的 n(n+1)(n+2) ； 由于最先把数列的各项都乘了 3，最后这个 n(n+1)(n+2) 就是原先数列和的 3倍，最终结果就是 n(n+1)(n+2)/3
2、1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5 +……+ n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4 连续三个数字乘积的数列 通项是 n(n+1)(n+2) ，前 n 项的和是 n(n+1)(n+2)(n+3)/4 ，原因也是这样吧 1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5 = [ 1X2X3X4 + 2X3X4X(5-1) + 3X4X5X(6-2) ] / 4 = [ 1X2X3X4 - 1X2X3X4 + 2X3X4X5 - 2X3X4X5 + 3X4X5X6 ] / 4 = 3 X 4 X 5 X 6 / 4 = 3 (3+1) (3+2) (3+3) / 4 没错，通项 n(n+1)(n+2) ，前 n 项的和 n(n+1)(n+2)(n+3)/4 ，也是这个原因
3、1+ 3+ 6+ 10 +……+ n(n+1)/2 = n(n+1)(n+2)/6 这就是把连续两个数字乘积的数列除以 2，不用再说了 要知道，这个数列的通项式 n(n+1)/2 ，也正是自然数列的前 n 项和的公式 如果从上往下，物体顶上第一层 1 个，第二层摆成 1+2 ，第三层摆成 1+2+3 ，第四层摆成 1+2+3+4 ……像台阶或正四面体的形状，计算总数量时，就会用到这个公式。 1 + 3 + 6 + 10 = 1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = [ 1X2 + 2X3 + 3X4 + 4X5 ] / 2 = [ 1X2X3 + 2X3X(4-1) + 3X4X(5-2) + 4X5X(6-3) ] / 6 = 4 X 5 X 6 / 6 = 4 (4+1) (4+2) / 6 数列通项是 n(n+1)/2 ，前 n 项的和就是 n(n+1)(n+2)/6
4、1/(1X2) + 1/(2X3) + 1/(3X4) +……+ 1/n(n+1) = n/(n+1) 连续两个数字的乘积，在数列通项中变成倒数，数列和的计算方法还是这样吗 1/(1X2) + 1/(2X3) + 1/(3X4) = (2-1)/(1X2) + (3-2)/(2X3) + (4-3)/(3X4) = 2/2 - 1/2 + 3/6 - 2/6 + 4/12 - 3/12 = 1 -1/2 + 1/2 -1/3 + 1/3 -1/4 = 1 -1/4 = 3 / 4 = 3 / (3+1) 数列通项是 1/n(n+1) ，前 n 项的和就是 n/(n+1) ，方法也是大同小异
5、1/(1X2X3) + 1/(2X3X4) + 1/(3X4X5) +……+ 1/n(n+1)(n+2) = [1/2 - 1/(n+1)(n+2)] /2 在数列通项中，连续三个数字的乘积变成倒数，数列和再算一算 1/(1X2X3) + 1/(2X3X4) + 1/(3X4X5) = [ (3-1)/(1X2X3) + (4-2)/(2X3X4) + (5-3)/(3X4X5) ] / 2 = [ 1/(1X2) - 1/(2X3) + 1/(2X3) - 1/(3X4) + 1/(3X4) - 1/(4X5) ] / 2 = [ 1/(1X2) - 1/(4X5) ] / 2 = [ 1/2 - 1/(3+1)(3+2) ] / 2 数列通项是 1/n(n+1)(n+2)，前 n 项的和就是 [ 1/2 - 1/(n+1)(n+2) ] / 2
回到最简单的，等差数列也这样算一算
1、自然数的数列，1+ 2+ 3+ 4 +……+ n = n(n+1)/2 这个 n(n陴鲰芹茯+1)/2，等差数列说，是最大项加最小项的和，除以2 算出平均数之后，乘以项数，就是数列前 n 项的和； 我就觉得，这个 n(n+1)/2，并非像梯形面积 (a+b) h / 2 那样，或许这就是为了变成连续数字的乘积，让我们再取数列前四项算算吧 1 + 2 + 3 + 4 = [ 1X2 + 2X2 + 3X2 + 4X2 ] / 2 = [ 1X2 + 2X(3-1) + 3X(4-2) + 4X(5-3) ] / 2 = [ 1X2 - 1X2 + 2X3 - 2X3 + 3X4 - 3X4 + 4X5 ] / 2 = 4 X 5 / 2 = 4 X (4+1) / 2 数列通项是 n ，前 n 项的和就是 n(n+1)/2 显然，把数列各项都乘以 2，就可以把 2 变成 (n+1) 与(n-1) 的相差数，原来每一项的自然数 n，就变成 n(n +1) - (n -1)n 两组连续两个数字乘积的差； 第一项的 1，也是由于 0X1=0，只见 n(n+1) 是 1X2，不见 (n-1)n ； 后面各项的 n(n -1) 也都与前一项的 n(n +1) 相互抵消，只剩下最后一项的 n(n + 1) ； 别忘记最后这个 n(n+1) ，是最先乘以 2 得到的，最终结果就是 n(n+1)/2
2、偶数的数列，2+ 4+ 6+ 8 +……+ 2n = n(n+1) 偶数的数列就是自然数列的 2 倍，直接把 2 变成一对对相差数就行了 1X2 + 2X2 + 3X2 + 4X2 = 1X2 + 2X(3-1) + 3X(4-2) + 4X(5-3) = 4 X 5 = 4 X (4+1) 数列通项是 2n，前 n 项的和就是 n(n+1)
3、奇数的数列，1+ 3+ 5+ 7 +……+ 2n-1 = n" 奇数的数列，每一项都比偶数小 1，算起来就一样 1 + 3 + 5 + 7 = 1X2 -1 + 2X2 -1 + 3X2 -1 + 4X2 -1 = 4X5 - 4X1 = 4 X 4 数列通项是 2n-1，前 n 项的和就是 n"
二次方、三次方的数列，还是这样算一算
1、1X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 +……+ n" = n(n+1)(2n+1)/6 自然数二次方的数列，我们取前四项，变成连续两个数字的乘积算一算 1X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 = 1X(2-1) + 2X(3-1) + 3X(4-1) + 4X(5-1) = 1X2 -1 + 2X3 -2 + 3X4 -3 + 4X5 -4 = 1X2 + 2X3 + 3X4 + 4X5 -1 -2 -3 -4 = [ 1X2X3 + 2X3X(4-1) + 3X4X(5-2) + 4X5X(6-3) ] /3 -(1+ 2+ 3+ 4) = 4X5X6 /3 - 4X5 /2 还原字母，算出公式 = n(n+1)(n+2)/3 - n(n+1)/2 = n(n + 1)[ 2(n+2) /6 - 3/6 ] = n(n + 1)[ 2n + 4 - 3 ]/6 = n(n + 1)(2n + 1)/6 通项是 n" ，前 n 项的和就是 n(n + 1)(2n + 1)/6
2、1X1 + 3X3 + 5X5 + 7X7 +……+ (2n-1)" = n(4n" -1)/3 奇数二次方的数列，再取前三项，变成连续两个数字的乘积算一算 1X1 + 3X3 + 5X5 = 1 + 3X(1+2) + 5X(2+3) = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 1X2/2 + 2X3/2 + 3X4/2 + 4X5/2 + 5X6/2 = 5 X 6 X 7 / 6 还原字母，算出公式 = (2n -1)(2n)(2n +1)/6 = n(4n" -1)/3 通项 (2n -1)" ，前 n 项的和 n(4n" - 1)/3 ，原来也有这样的关系
3、1X1X1 + 2X2X2 + 3X3X3 + 4X4X4 +……+ n^3 = [ n(n+1)/2 ]" 自然数三次方的数列，变成连续三个数字乘积的数列，应该更方便，瞧 5 X 5 X 5 = 5X( 5" - 1" + 1) = 5X(5 - 1)(5 + 1) + 5 X 1 = 4X5X6 + 5 数列我们就取前四项算算看吧 1X1X1 + 2X2X2 + 3X3X3 + 4X4X4 = 1 + 1X2X3 +2 + 2X3X4 +3 + 3X4X5 +4 = 1+ 2+ 3+ 4+ 1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5 = 4X5 /2 + [ 1X2X3X4 + 2X3X4X(5-1) + 3X4X5X(6-2) ] / 4 = 4X5 /2 + 3X4X5X6 /4 还原字母，算出公式 = n(n + 1)/2 + (n-1)n(n+1)(n+2)/4 = n(n + 1)[ 2/4 + (n-1)(n+2)/4 ] = n(n + 1)[ 2 + n" + 2n - n - 2 ] / 4 = n(n + 1)(n" + n) / 4 = [ n (n + 1) / 2 ]" 数列的通项是 n^3 ，前n项和就是 [ n(n+1)/2 ]" 其实， 1+ 8+ 27+ 64+ 125 = 9+ 27+ 64+ 125 = 36+ 64+ 125 = 100+ 125 = 225 这个数列只要把前几项像这样耐心地加一遍，我们就会发现，1、9、36、100、225 这几个前n项的和，也正好是 1、3、6、10、15……n(n+1)/2 的二次方。
4、1X1X1 + 3X3X3 + 5X5X5 + 7X7X7 +……+ (2n-1)^3 = n"(2荏鱿胫协n" -1) 奇数三次方的数列，我们还是取前四项，变成连续三个数字的乘积算一算 1X1X1 + 3X3X3 + 5X5X5 + 7X7X7 = 1 + 2X3X4 +3 + 4X5X6 +5 + 6X7X8 +7 = 1+ 3+ 5+ 7 + 2X3X4 + 4X5X6 + 6X7X8 = 4X4 + 2X1X3X2X2 + 2X2X5X3X2 + 2X3X7X4X2 = 4X4 + 4X1X2X3 + 4X2X3X(1+4) + 4X3X4X(2+5) = 4X4 + 4X1X2X3 + 4X1X2X3 + 4X2X3X4 + 4X2X3X4 + 4X3X4X5 = 4X4 + [1X2X3X4]X2 + [2X3X4X(5-1)]X2 + 3X4X5X(6-2) = 4X4 + (2X3X4X5)X2 - 2X3X4X5 + 3X4X5X6 = 4X4 + 2X3X4X5 + 3X4X5X6 还原字母，算出公式 = n" + (n-2)(n-1)n(n+1) + (n-1)n(n+1)(n+2) = n" + n(n" -1)[ (n - 2) + (n + 2) ] = n" + n(n" -1)(2n) = n" + n"(2n" - 2) = n"(2n" - 2 + 1) = n"(2n" - 1) 数列的通项是 (2n-1)^3，前n项和就是 n"(2n"-1)