浅谈无穷大与无界

1、我们蒉翟蛳庹从无穷大数列说起，首先明确这是一个用数列极限定义的概念，如果数列an满足liman=∞，则称an为无穷大数列，例如自然数列锾攒揉敫an=n。注意liman=∞只是一种方便的写法，意思是数列an发散（到∞），用数列极限的ε-N定义（这是数列极限的精确语言）表述为：对任意M>0，存在N，使得n>N时有|an|>M。再来看无界数列的定义，我们熟悉的是有界这个概念，它粗略地指数列各项只能在某个范围内取值，例如an=1/n是有界，由于an∈(0,1]。仿照数列极限的定义，可将有界定义为：存在M>0，使得对任意n，|an|≤M成立。我们把不是有界的数列定义为无界数列，根据对偶原理（“任意”与“存在”互换），可以得到无界的精确定义：对任意M>0，存在n，使得|an|>M。

4、类似地，函数中也可以定义无穷大和无界的概念，而且它们之间的关系完全和数列情况类似。例如考淑舛唱枭察函数f(x)=xsinx，它在R上是无界量，因为只需取x=2kπ+(π/2)即可（此时sinx=1，f烫喇霰嘴(x)=2kπ+(π/2)随k的增大会大过任意事先给定的M）；但它又不是无穷大量(当x趋于∞时），因为取x=kπ时，f(x)=0，即随着k的增大，函数值会无数次变为0，因此不管怎么选取X，都存在x>|X|使得f(x)=0，从而不满足|f(x)|>M的条件。

5、下图为函数f(x)=xsinx的图像，从图像角度结合定义，可以更加直观地理解无穷大和无界。粗略地说，无穷大量在x增大的过程中，|f(x)|虽然在局部上可以有小波动，但整体趋势上是稳定的（逐渐趋于∞），而无界量在x增大过程中|f(x)|在整体上可以有很大波动。事实上，后文的一个定理表明，非无穷大的无界量一定伴随着巨大波动。

7、对于数列的无穷大与无界，也可用类似方法描述，为此需要利用子列的概念。从一个数列an中取出一部分项构成一个新数列，称为数列an的一个子列，记作ank，项ank表示它是子列中的第k项，在原数列中是第nk项。例如an=n，则偶数列2,4,6...是an的一个子列，an1为子列中的第一项2，它在原数列中是第二项，因此n1=2。用子列来描述数列的无穷大和无界如下：无穷大数列的任意子列都发散至无穷大，无界数列只需存在一个发散至无穷大的子列即可。