导数画函数y=5/(x^2+1)图像示意图

1、      本文介绍分数函数y=5/(x^2+1)的定义域、单调性、凸凹性、极限、奇偶性等函数性质，并通过函数的导数知识求解函数y=5/(x^2+1)的单调区间和凸凹区间。函数的定义域，结合分式函数的性质，分析求解函数的定义域。

2、函数y=5/(x^2+1)的单调性，悦获通过函数的一阶沫信仗导数，求出函数的单调区间。

3、 y=5/(x^2+1)，分母y1=x^2+1，为二次函数，图像关于y轴对称，开口向上，

当x≥0时，y1函数为增函数，当x＜0时，y1函数为减函数，

再取倒数时，则函数单调性相反，即：

当x≥0时，y函数为减函数，当x＜0时，y函数为增函数。

4、函数极值与极限，函数的最大值和无穷端点处的极限。

lim(x→-∞) 5/(x^2+1)=0;

lim(x→0) 5/(x^2+1)=5;

lim(x→-∞) 5/(x^2+1)=0。

5、函数的凸凹性，通过函数的二阶导数，解析函数的凸凹区间。

d^2y/dx^2=-10[(1x^2+1)^2-x*2(1x^2+1)*2ax]/(x^2+1)^4,

d^2y/dx^2=-10[(1x^2+1)-4x^2]/(x^2+1)^3,

d^2y/dx^2=10(3x^2-1)/(x^2+1)^3,

令d^2y/dx^2=0，则3x^2-1=0，即x^2=1/3,

求出x1=-(1/3)√3，x2=(1/3)√3。

（1）当x∈(-∞，-(1/3)√3),( (1/3)√3，+∞)时，

d^2y/dx^2＞0，则此睡矿时函数y为凹函数，

（2）当∈[-(1/3)√3,(1/3)√3]时，

dy/dx≤0，则此时函数y为增函数。

6、根据奇偶性判断原则，判断函数为偶函数。

因为f(x)=5/(x^2+1),

所以f(-x)=5/[1(-x)^2+1]=5/(x^2+1)=f(x),

即函数为偶函数，函数图像关于y轴对称。

7、该偶数分式函数y=5/(x^2+1)部分点解析表如下：

8、函数的示意图，综合以上函数定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性和极限的性质，函数y=5/(x^2+1)的示意图如下：

9、导数的应用举例：

求点A(0, 5/1)处的切线。

根据导数的几何定义，此时切线的斜率kA=0，即此时切线方程为y=5/1.

求点B(-1, 5/2)处的切线。

此时切线的斜率KB=5/2，即可得函数的切线方程为：

y-5/2=5/2(x+1);