函数y=2x^3-4x的图像示意图

1、       通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限和奇偶性等性质，介绍函数用导数工具画函数y=2x^3-4x的图像的主要步骤。

1、函数的定义域，根据函数特征，函数自变量可以取全体实数，即定义域为：(-∞，+∞）。

2、函数的单调性是函数的重要性质，反映了随着自变量的增加函数值的变化趋势，它是研究函数性质的有力工具，在解决比较大小、解决函数图像、值域、最值、不等式问题都有很重要的作用。

3、二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数，则y'=f'(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。

4、函数的极限，即求出函数在无穷处的极限。

5、根据函数的奇偶性的判断方法，对于本题由于f(-x)=-f(x),所以函数为奇函数，函数图像关于原点对称，主要判断过程如下图所示：

6、函数图像五点示意图，列图表解析函数上的五点图如下表所示。

7、根据以上函数的定义域、单调性、凸凹性、奇偶性以及极限等相关性质，并在函数的定义域前提下，即可简要画出函数的图像，且该图像关于原点对称。

1、已知函数y=2x^3-4x，通过导数知识，求:(1)求函数f(x)在点A(3,f(3))处的切线；(2)求函数f(x)单调区间及极值。

2、解：

当x=3时，y(1)=2*3^3-4*3=42;

y=2^3-4*3,求导得：

y´=4x2-4,当x=3时，

y´(1)=4*32-4=32，即为切线的斜率。

则切线的方程为:

y-42=32(x-3),化为一般方程为：

y-32x+54=0。

3、y´=x^2-4，令y´=0，则x=±1 .

 1).当x∈(-∞，-1 )和(1 ，+∞)时，

y´>0,此时函数y为单调增函数，所求区间为单调增区间。

2).当x∈[-1 ,1 ]时，

y´<0,此时函数y为单调减函数，所求区间为单调减区间。

则在x1=-1 处取极大值，在x2=11处取极小值。

所以：

极大值=f(-1 )

=-2(1 )3-4*(-1 )=2;

极小值=f(1 )

=2(1 )3-4*(1 )=-2。