用Mathematica计算一类特殊矩阵的特征多项式

1、先来构造这种矩阵的定义：

f[n_] := Module[{A}, 

  A = Table[0, n, n]; (A[[#, # + 1]] = 1) & /@ 

   Range[n - 1]; (A[[# + 1, #]] = 1) & /@ Range[n - 1];

  A]

2、我们来看看这种类型的6乘以6的矩阵的模样。

MatrixForm[f[6]]

3、再定义矩阵对应的特征多项式，g[n]。

g[n_] := Module[{A}, A = Table[0, n, n]; 

   (A[[#, # + 1]] = 1) & /@ Range[n - 1]; 

   (A[[# + 1, #]] = 1) & /@ Range[n - 1];

   Expand[Det[A - x*IdentityMatrix[n]]]]

4、查看当n不超过10，所有的这种类型矩阵的特征多项式：

Column[g[#] & /@ Range[10]]

5、但是，这种无止境的枚举法，于此题没有什么益处。我们很难通过这一串式子，观察出多项式的规律。

不过，这些多项式之间存在一种递归规律：

Reduce[ForAll[x,(g[#]-(-x*g[#-1]+m*g[#-2])//Factor)&@9==0],m]

实际上，把9改为任何大于2的正整数，都有m=-1。

6、有了递归公式，初始条件也很容易计算，这样就可以算出通项公式：

RSolve[{a[n + 2] == -x*a[n + 1] - 1 a[n], a[1] == -x, 

    a[2] == x^2 - 1}, a[n], n] // Flatten // Values

这正是这种n*n类型矩阵的特征多项式。