两种方法计算含有xy乘积的函数最小值举例F14

1、      问题由来:若实数x,y满足W(x,y)=197x²-28xy+y²-34y+538x+1162,则w的最小值是多少？

2、※.配方法求解

   运用配方法将W(x,y)=197x²-28xy+y²-34y+538x+1162变形为W(x,y)=(ax+by+c)²+(dx+e)²-f形式，然后根据非负数的性质求出的最小值即可．

  解：W(x,y)=197x²-28xy+y-34y²+538x+1162

=196x²-28xy+y+476x-34y²+289+x²²+62x+961-88

=(14x-y)²+34(14x-y)+289+(x+31)²-88

=(14x-y+17)²+(x+31)²-88

3、∵x,y为实数，

∴(14x-y+17)²≥0，(x+31)²≥0,

此时x=-31，y=-417,

∴W的最小值为：Wmin=-88.

4、※.导数法求解

W(x,y)=197x²-28xy+y²-34y+538x+1162，求出W分别对变量x,y的偏导数，由偏导数同时为0来求出多元函数W的最小值。

W|x’=394x-28y+538,

W|y’=-28x+2y-34;

令W|x’=W|y’=0，则：

28y-394x=538,

2y-28x=34.

5、解二元一次方程组，有：

x=-31,y=-417;

此时将x,y代入到W表达式中，有：

Wmin=W(-31,-417)

=197*(-31)²-28*(-31)*(-417)+(-417)²

²-34*(-417)+538*(-31)+1162,

=189317-361956+173889--14178+(-16678)+1162,

=-88.