3x+4y+2=0与x^2+y^2+4y=0交A,B求垂直平分线方程

直线3x+4y+2=0与圆x^2+y^2+4y=0交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线的方程式是？

方法一：

【解题思路】：利用点与直线、圆的关系求出A,B的中点，再利用直线的点斜式求解垂直平分线方程。

设A（x1,y1）,B(x2,y2),则有：

因为A,B两点在直线3x+4y+2=0上，所以AB的斜率=-3/4,即：

-3/4=(y2-y1)/(x2-x1).

y2-y1=-(3/4)(x2-x1)………(1)

又因为A,B都在圆上，则有：

X1^2+y1^2+4y1=0

X2^2+y2^2+4y2=0

相减得到：

（x1-x2）(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)+4(y1-y2)=0…(2)

（x2-x1）(x1+x2)+(y2-y1)(y1+y2+4)=0

把（1）代入（2）得到：

(x1+x2)-(3/4)(y1+y2+4)=0

4(x1+x2)-3(y1+y2+4)=0……(3)

同理，两点均在直线上，则有：

3x1+4y1+2=0

3x2+4y2+2=0

所以：

3(x1+x2)+4(y1+y2)+4=0……(4)

解方程组（3）、（4）得到：

X1+x2=36/25,y1+y2=-52/25

即AB的中点坐标（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）为：

（18/25,-26/25）.

根据垂直直线斜率乘积等于-1的关系，所求的垂直平分线的斜率=4/3。

所以所求的垂直平分线的方程为：

y-(-26/25)=(4/3)(x-18/25)

化简得到：

4x-3y-6=0

方法二：

【解题思路】：直接求出A，B两点的坐标，再利用点斜公式求得垂直平分线方程。

直线方程为：3x+4y+2=0，即x=-(4y+2)/3,

代入圆的方程得到：

(4y+2)^2/9+y^2+4y=0

化简得到：

25y^2+52y+4=0

(25y+2)(y+2)=0,所以:

Y1=-2/25,y2=-2,对应得到：

X1=-14/25，x2=2

则有A(-14/25，-2/25),B(2,-2).

所以AB的中点坐标为（18/25, -26/25）.

根据垂直直线斜率乘积等于-1的关系，所求的垂直平分线的斜率=4/3。

所以所求的垂直平分线的方程为：

y-(-26/25)=(4/3)(x-18/25)

化简得到：

4x-3y-6=0.