矩阵A-E的秩等于E-A的秩吗

相同，任何矩阵C的秩都和－C的秩都相同

解法：E－A＝－（A－E），所以秩（A－E）＝秩（E－A）。

举例：

设A为m阶方阵

证明：设方阵A的秩为n因为任何矩阵都可以通过一系列初等变换,变成形如1 0 … 0 … 00 1 … 0 … 0…………………0 0 … 1 … 00 0 … 0 … 0…………………0 0 … 0 … 0的矩阵,称为矩阵的标准形

（注：这不是二次型的对称矩阵提到的标准形）可以通过一系列初等行变换的标准形为主对角线前若干个是1；其余的是若干个0以及除对角线以外的元素都是0。

设A的标准形为B因为“m×m阶矩阵构成的数域P上的线性空间”与“该线性空间上的全体线性变换在数域P上的线性空间”同构。

所以研究得到线性空间的性质可以照搬到线性变换空间上应用,从同构的意义上说,他们是“无差别”的.（由于线性变换符号的字体不能单独以花体字体区别,所以用形如“线性变换A”,表示线性变换用形如“矩阵A”,表示线性变换的矩阵）前面知识应该提到的内容：

一系列初等矩阵的乘积是非退化的,初等变换不改变矩阵的秩,初等变换是可逆的所以矩阵B的秩（1的个数）,就是矩阵A的秩,就是n因为可逆且不改变秩,所以讨论矩阵B的情况。

可以应用到矩阵A上.我们随即看到,如果线性变换B（或者说矩阵B）的秩是n,则线性变换B就是对线性空间的前n个基做恒等映射（因为基向量组没有秩序,我们取前n个不会有原则性的问题）后m-n个基做零变换。

所构成的线性变换,线性变换B的特征多项式是(λ-1)^n就可以快速找到n个线性无关的特征向量,这些特征向量直接取线性空间的前n个基就可以了。

得到的结论是,线性变换B秩是多少,就一定找到有多少个线性无关的特征向量.因为一个特征向量只能属于一个特征值,所以有多少个线性无关的特征向量。

就有多少个特征值（不管你的特征值是不是一样）这里有n个1,都是一样的（从特征多项式也知道有n个重根）因为非退化的线性替换不改变空间的维数,不改变矩阵的秩。

扩展资料

矩阵的秩与矩阵的特征值个数是没有关系的。

n阶矩阵在复数范围内，一定有n个特征值（重特征值按重数计算个数），从这个意义上说，矩阵的特征值个数与矩阵的阶数倒是有关系的。

n阶矩阵在实数范围内有多少个特征值就不一定了。但是有一个重要的结论需要知道：n阶实对称矩阵一定有n个实特征值（重特征值按重数计算个数）。

矩阵的秩与矩阵含有特征值0的个数却是有关系的，当你把概念理清以后是不难知道的。