如果0＜x＜1时，求函数y=x(1-3x)的最大值

1、通过二次函数图像法、均值不等式法和函数导数法，介绍已知当0＜x＜1时，求函数y=x(1-3x)的最大值的主要步骤。

2、对本题二次函数进行分析，可知其在直角坐标系上为抛物线，开口向下，对称轴x0在所给定的区间上，即可得到函数的最大值。

3、由不等式ab≤(a+b)^2，a，b∈R+知：y=x(1-3x)=1/3*3x(1-2x)≤1/3*{[x+(1-x)]/2}^2=1/3*( 1/2)^2=1/12.

4、求出函数的一阶导数，通过函数的一阶导数，判断函数的单调性，进而求出函数的最大值。

5、单调函数法∵y=x(1-3x)，∴y=1x-3x^2,对x求导有：dy/dx=1-2*3x，令dy/dx租涫疼迟=0,则：1-2*3x=0，此时x=1/6，且有：(1) 当x∈(0，1/6)时，dy/dx＞0，函数为增函数；(2) 当x∈[1/6，1)时，dy/dx≤0，函数为减函数。则当x= 1/6时，y取最大值，此时ymax=1/12。