画五次函数y=3x^5+x+5的图像的主要方法和步骤

1、     函数为幂函数的四则运算，可知函数的自变量可以取全体实数，即定义域可以为：(-∞，+∞)。

2、函数的单调性，求出函数的一阶导数，通过函数的一阶导数，判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间。

∵y=3x5+x+5

∴y'=15x4+1

又∵x4≥0

∴y'>0

即函数y在定义域范围内为单调增函数。

3、举例求解点A（-1,1）处的切线，主要步骤如下：

此时y'=16，由直线的点斜式可求出点A处的切线方程为：

y-1=16(x+1).

4、函数的凸凹性，通过函数的二阶导数，解析函数的凸凹性。

∵y'=15x4+1

∴y＂=60x3令y＂=0，则x=0。

则：

（1）当x≥0时，函数y为凹函数；

（2）当x＜0时，函数y为凸函数；

5、如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0。

6、由函数性质，解析函数的极限，判断函数在无穷大处的极限。

      lim

      lim

      lim

7、函数五点图，由函数表达式，解析函数部分点如下：

8、函数的示意图，综合以上函数的定义域、值域、单调性等性质，函数的示意图如下：