指数函数y=e^(2x+3y)的图像

1、※.曲线方程的定义域

曲线方程表达式为y=e^(2x+3y),即y>0,且lny=2x+3y，

则：2x=lny-3y.

设2x=F(y)=lny-3y,把y看成自变量，求导得：

F＇(y)=(1/y)-3=(1-3y)/y.

2、令F＇(y)=0，则y=1/3.

当0<y<1/3时，F＇(y)>0;当y>1/3时，F＇(y)<0.

所以，当y=1/3时，F(y)有最大值，即：

2x=F(y)≤F(y)max=-(1+ln3)

x≤-(1+ln3)/2≈-1.05

即曲线方程的定义域为：(-∞，-1.05]。

3、计算函数的一阶导数，通过函数的一阶导数，进而判断函数的单调性。

4、函数的单调性：通过函数的一阶导数，求出函数驻点，由一阶导数的正负，判断函数的单调性，进而得到函数的单调区间。

5、对方程两边同时对x求导，得：

y=e^(2x+3y)

y＇=e^(2x+3y)(2+3y＇)

y＇=2e^(2x+3y)/[1-3e^(2x+3y)]

即：y＇=2y/(1-3y).

导数y＇的符号与(1-3y)的符号一致。

6、通过函数的二阶导数，求解函数y的凸凹区间。

∵y＇=-2y/(3y-1)，

∴y＂=-2[y＇(3y-1)-3yy＇]/(3y-1)^2

=-2y＇/(3y-1)^2

=2^2y/(1-3y)^3

则y＂的符号与(1-3y)的符号一致。

7、曲线方程的凸凹区间为：

(1).当y∈(0,1/3]时，y＂＞0，此时曲线方程为凹曲线;

(2).当y∈(1/3,+∞）时，y＂＜0，此时曲线方程为凸曲线。

8、列举函数五点图：函数上部分点解析如下表所示，横坐标和纵坐标。

9、函数的示意图：综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，函数的示意图如下：