两点间距离最小值计算应用解析A12

1、█已知两点其中一点含有参数情形

例题1：已知平面直角坐标系上有两点，点P(22,3)与点Q(p,p+3)，则PQ的最小值为多少？

解：本例子中，P,Q两个点中，其中一个点含有未知数，

根据两点间公式，有：

PQ=√[(p-22)²+(p+3-3)²],

=√[(p-22)²+p²],

=√[2(p-11)²+242],

可知当p=11时，PQ有最小值，即：

PQmin=√(0+242)=11√2.

2、█已知两点都含有参数情形

例题2：已知平面直角坐标系内有两点，点A(34,c)与点B(c+23,3)，则AB的最小值为多少？

解：根据两点间公式，有：

AB=√[(34-c-23)²+(c-3)²],

=√[(c+11)²+( c-3)²],

=√[2(c--4)²+98],

同理，根式内部看成c的一元二次方程，可知当c=-4时，AB有最小值，此时最小值为：

AB=√(0+98)=7√2.

3、█已知两点过抛物线情形

例题3：已知点R(m,y₁)与点S(m+25,y₂)在抛物线y= x²/7的图像上，且-17≤m≤17，则线段RS长的最大值、最小值分别是多少？

解：根据两点间公式，有：

RS=√[(m+25-m)²+( y₂-y₁)²],

=√[(25²+( y₂-y₁)²].

由于两点在抛物线上，则：

y₂-y₁=(1/7)[(m+25)²-m²]=(1/7) (2*25m+25²),

4、此时RS=√[25²+(1/7)²(2*25m+25²)²]

=25√[1+(1/7)²(2m+25)²],

=(25/7)√[7²+(2m+25)²]，则有：

当2m=-25时，有RSmin=25.

当m=17时，有：

RSmax=(25/7)√[7²+(2*17+25)²]

=(25/7)√3530.

5、█已知两点过反比例函数情形

例题4：在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数y=141/x的图像交于点G，H两点，则直线GH长的最小值多少？

解：设G (t, 141/t)，根据交点的对称性可知，H (-t,-141/t)，

由两点距离公式有：

GH=√[(t+t)²+(141/t+141/t)²]

=√(4*t²+4*141²/t²)

=2√(t²+141²/t²)

≥2√(2*141)=2√282.

6、知识点：本题反比例函数图像在第一、三象限，过原点的直线为正比例函数，则与反比例函数的交点必在第一象限和第三象限，且这两个点的横、纵坐标分别互为相反数。