找出规律，数列前n项和的公式就再不会记错了

、中学数学课学习的数列知识，需要我们牢记好多公式。 常用有这么多数列，如果规律不明显，前n项和公式记起来就麻烦了，怎么样才能轻松记牢呢？ 别着急，我找到规律，大家一起看看吧

工具/原料

、1+ 2+ 3+ 4 +……+ n = n(n+1)/2 2+ 4+ 6+ 8 +……+ 2n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ 7 +……+ 2n-1 = n" 等差数列，规律明显，我们都用不着记

、1+ 4+ 9+ 16 +……+ n" 1"+ 3"+ 5"+ 7" +……+ (2n-1)" 1+ 8+ 27+ 64 +……+ n^3 1 + 27 + 125 +……+ (2n-1)^3 数列通项有二次方、完全平方式，还有三次方，前n项和公式记得方便吗？

、1+ 3+ 6+ 10 +……+ n(n+1)/2 1X2 + 2X3 + 3X4 + 4X5 +……+ n(n+1) 1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5 + 4X5X6 +……+ n(n+1)(n+2) 数列通项是连续数字的乘积，前n项和又是什么呢？

、1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 +……+ 1/n(n+1) 1/6+ 1/24 + 1/60 + 1/120 +……+ 1/n(n+1)(n+2) 数列通项变成连续数字乘积的倒数，找规律算前n项和，是不是更困难了呢？

找规律，先从等差数列看起

1、为什么自然数列 1、2、3、4……通项为 n，前n项和就是 n(n+1)/2 呢？ 找规律，让我们抛开等差数列，换个思路看看 1 = 1 X (1+1) / 2 = 1 X 2 / 2 1+ 2 = 3 = 2 X (2+1) / 2 = 2 X 3 / 2 1+ 2+ 3 = 6 = 3 X (3+1) / 2 = 3 X 4 / 2 1+ 2+ 3+ 4 = 10 = 4 X (4+1) / 2 = 4 X 5 / 2 看到 1X2 /2、2X3 /2、3X4 /2、4X5 /2，你有没有得到启发呢？

2、我就觉得，这个 n(n+1)/2，并非梯形面积 (a+b) h / 2 那样，最大项加最小项的和，乘以项数以后，去掉重复除以2； 这个 n(n+1)/2，或许正是为了变成连续数字的乘积。 让我们取自然数列的前三项，看看吧 1+ 2+ 3 = 2 X (1+2+3) / 2 = [ 1X2 + 2X2 + 3X2 ] / 2 = [ 1X2 + 2X(3-1) + 3X(4-2) ] / 2 = [ 1X2 -1X2 +2X3 -2X3 +3X4 ] / 2 = 3 X 4 / 2 = 3 X (3+1) / 2

3、这个自然数列，第一项是 1 ，变成连续数字的乘积就是 1X2 ，计算前 n 项的和，就要把整个数列乘以 2 和倒数 1/2 ，确保和不变；然后就可以把 2 变成不同两个数字的差，各个数项与它们相乘之后，变成一组组连续数字的乘积，前面各项相互抵消，最后就只剩下最大项变的 n(n+1)/2

4、是这样吗？通项是连续两个数字乘积的数列，也取前三项试试看 1X2 + 2X3 + 3X4 屏顿幂垂= 3 X ( 1X2 + 2X3 + 3X4 ) / 3 = [ 1X2X3 + 2X3X(4-1) + 3X4X(5-2) ] / 3 = [ 1X2X3 - 1X2X3 + 2X3X4 - 2X3X4 + 3X4X5 ] / 3 = 3 X 4 X 5 / 3 = 3 X (3+1) X (3+2) / 3 没错，这个数列 2、6、12、20……通项 n(n+1)，第一项是 1X2，计算前n项和就要变成 1X2X3，整个数列就要乘以 3 和 1/3，各个数项乘以 3 之后，就变成一组组相互抵消的连续数字乘积，最后只剩下最大项变的 n(n+1)(n+2)/3 显然，换成数列 1、3、6、10……通项为 n(n+1)/2，前n项和就是 n(n+1)(n+2)/6

5、接下来，我们继续看看，通项是连续三个数字乘积的数列 1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5 = [ 1X2X3X4 + 2X3X4X(5-1) + 3X4X5X(6-2) ] / 4 = [ 1X2X3X4 - 1X2X3X4 + 2X3X4X5 - 2X3X4X5 + 3X4X5X6 ] / 4 = 3 X 4 X 5 X 6 / 4 = 3 X (3+1) X (3+2) X (3+3) / 4 同理，这个数列的通项是 n(n+1)(n+2)，前n项和就是 n(n+1)(n+2)(n+3)/4

6、看到这里，这个规律我们就更清楚了。 数列 1、2、3、4……通项是 n，前n项和就是 n(n+1)/2； 数列 2、6、12、20……通项是 n(n+1)，前n项和就是 n(n+1)(n+2)/3 数列 6、24、60、120……通项是 n(n+1)(n+2)，前n项和就是 n(n+1)(n+2)(n+3)/4

7、还有通项是连续数字咦住谕腋乘积倒数的数列，肯定也是大同小异吧 1/(1X2) + 1/(2X3) + 1/(3X4) = (2-1)/(1X2) + (3-2)/(2X3) + (桃轾庾殇4-3)/(3X4) = 1 -1/2 + 1/2 -1/3 + 1/3 -1/4 = 1 -1/4 = 3/4 连续三个数字乘积的倒数 1/(1X2X3) + 1/(2X3X4) + 1/(3X4X5) = (1/2) X [ (3-1)/(1X2X3) + (4-2)/(2X3X4) + (5-3)/(3X4X5) ] = (1/2) X [ 1/(1X2) -1/(2X3) + 1/(2X3) -1/(3X4) + 1/(3X4) -1/(4X5) ] = (1/2)[ 1/(1X2) -1/(4X5) ]

8、哦！难怪如此 数列 1/2、1/6、1/12 ……通项是 1/n(n+1)， 前n项和就是 n/(n+1)； 数列 1/6、1/24、1/60 ……通项是 1/n(n+1)(n+2)， 前n项和就是 (1/2)[ 1/(1X2) - 1/(n+1)(n+2) ]

发现规律，我们就自己推导前n项和公式

1、自然数二次方，1、4、9、16、25……通项是 n" 这个数列 显然，1X2= 1"+1，2X3= 2"+2，n(n+1)= n"+n，我们就正好用那两个数列前n项和的公式相减，算出这个通项为 n" 的数列前n项和 n(n+1)(n+2)/3 - n(n+1)/2 = n(n+1)[2(n+2)/6 - 3/6] = n(n+1)[2n+4-3]/6 = n(n+1)(2n+1)/6 数列的通项是 n"，前n项和就是 n(n+1)(2n+1)/6

2、奇数的二次方 1、9、25、49、81……通项是 (2n-1)" 这个数列 还是先取前三项看看 1X1 + 3X3 + 5X5 = 1 + 3X(1+2) + 5X(2+3) = [ 1X2 + 3X(2+4) + 5X(4+6) ] / 2 = [ 1X2 + 2X3 + 3X4 + 4X5 + 5X6 ] / 2 = 5 X 6 X 7 / 6 这样就再次看到了，连续数字乘积的形式 = 2n (2n - 1) (2n + 1) / 6 = n (4n" - 1) / 3 数列的通项是 (2n-1)"，前n项和就是 2n(2n+1)(2n-1)/6 = n(4n"-1)/3 看到了吗？通项是二次方的数列，前n项和的式子中都有因式 n(2n+1)，记住他们这个共同特征，数列前n项和的公式，我们就不会记错了。

3、自然数三次方 1、8、27、64、125……通项是 n^3 这个数列 我们也用连续数亨蚂擤缚字的乘积来试试， 要知道，一个数的三次方，变成连续数字的乘积就更方便了，看吧 5 X 5 X 5 = 5X( 5" - 1" + 1) = 5X(5 - 1)(5 + 1) + 5 X 1 = 4X5X6 + 5 数列我们就取前四项看看吧 1X1X1 + 2X2X2 + 3X3X3 + 4X4X4 = 1+ 2+ 3+ 4+ 1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5 = 4X5 /2 + [ 1X2X3X4 + 2X3X4X(5-1) + 3X4X5X(6-2) ] / 4 = 4X5X2 /4 + 3X4X5X6 /4 = 4X5 X ( 2 + 3X6 ) / 4 = 4X5 X ( 2 + 2X9 ) / 4 = 4X5 X (2X10) / 4 = (4X5/2)" = [ 4 X ( 4 + 1 ) / 2 ]" 数列的通项是 n^3，前n项和就是 [n(n+1)/2]" 其实 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 9 + 27 + 64 + 125 = 36 + 64 + 125 = 100 + 125 = 225 这个数列只要把前几项像这样耐心地加一遍，我们就会发现，1、9、36、100、225这几个前n项的和，也正好是 1、3、6、10、15……n(n+1)/2 的二次方。

4、奇数的三次方 1、27、125……通项是 (2n-1)^3 这个数列 我们还是变成连续数字的乘积，胃申赜驵取前四项看看 1X1X1 + 3X3X3 + 5X5X5 + 7X7X7 = 1+ 3+ 5+ 7 + 2X3X4 + 4X5X6 + 6X7X8 = 4X4 + 2X1X3X2X2 + 2X2X5X3X2 + 2X3X7X4X2 = 4X4 + 4X1X2X3 + 4X2X3X5 + 4X3X4X(5+2) = 4X4 + 1X2X3X4 + 2X3X4X5 + 2X3X4X4 + 3X4X5X4 = 4X4 + 1X2X3X4 + 2X3X4X(5-1) + 2X3X4X5 + 3X4X5X(6-2) = 4X4 + 2X3X4X5 + 3X4X5X6 = 4X4 + 3X4X5X8 = n" + [ 2n (n-1) n (n+1) ] = n" + [ 2n"(n" - 1) ] = n" + 2(n^4) - 2n" = 2(n^4) - n" = n"(2n" - 1) 数列的通项是 (2n-1)^3，前n项和就是 n"(2n"-1)