由正方形的隐函数方程引发的思考

1、首先，移项，然后，两边取平方值，展开，并化简：FullSimplify[Expand[(Abs[x + y + 1])^2 == (1 - Abs[x - y])^2],Refine[Element[{x, y}, Reals]]]得到下面的式子：x + y + 2 x y + Abs[x - y] == 0它的图像如下：

2、看看原来的正方形方程式的图像：ContourPlot[{x + y + 2 x y + Abs[x - y] == 0, Abs[x + y + 1] == 1 - Abs[x - y]}, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

3、对x + y + 2 x y + Abs[x - y] == 0移项，并两边平方，化简：FullSimplify[Expand[(x + y + 2 x y)^2 == (Abs[x - y])^2],Refine[Element[{x, y}, Reals]]]得到的式子是：x (1 + x) y (1 + y) == 0图像如下。

4、如果正方形的隐函数方程用另一种方法变形：Expand[(Abs[x - y])^2 == (1 - Abs[x + y + 1])^2]Expand[烫喇霰嘴(x - y)^2 == 1 - 2 Abs[1 + x + y] + (1 + x + y)^2] // Simplify就可以得到下面的式子：1 + x + y + 2 x y == Abs[1 + x + y]其图像如下。

5、正方形恰好就是步骤1和上一步的图形的公共部分（交集）。ContourPlot[{1 + x + y + 2 x y == Abs缪梨痤刻[1 + x + y], x + y + 2 x y + Abs[x - y] == 0, Abs[x + y + 1] == 1 - Abs[x - y]}, {x, -2, 2}, {y, -2, 2},PlotPoints -> 50]

6、而它们的并集，恰好就是四条直线的全体。ContourPlot[{1 + x + y + 2 x y == Abs[1 + x + y], x + y + 2 x y + Abs[x - y] == 0, x (1 + x) y (1 + y) == 0}, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, PlotPoints -> 50]