两点间距离最小值计算应用解析A5

1、█已知两点其中一点含有参数情形

例题1：已知平面直角坐标系上有两点，点M(10,20)与点N(d,d+20)，则MN的最小值为多少？

解：本例子中，M,N两个点中，其中一个点含有未知数，

根据两点间公式，有：

MN=√[(d-10)²+(d+20-20)²],

=√[(d-10)²+d²],

=√[2(d-5)²+50],

可知当d=5时，MN有最小值，即：

MNmin=√(0+50)=5√2.

2、█已知两点都含有参数情形

例题2：已知平面直角坐标系内有两点，点M(51,b)与点N(b+26,81)，则MN的最小值为多少？

解：根据两点间公式，有：

MN=√[(51-b-26)²+(b-81)²],

=√[(b+25)²+( b-81)²],

=√[2(b-28)²+5618],

同理，根式内部看成b的一元二次方程，可知当b=28时，MN有最小值，此时最小值为：

MN=√(0+5618)=53√2.

3、█已知两点过抛物线情形

例题3：已知点K(t,y₁)与点L(t+31,y₂)在抛物线y= x²/6的图像上，且-22≤t≤22，则线段KL长的最大值、最小值分别是多少？

解：根据两点间公式，有：

KL=√[(t+31-t)²+( y₂-y₁)²],

=√[(31²+( y₂-y₁)²].

由于两点在抛物线上，则：

y₂-y₁=(1/6)[(t+31)²-t²]=(1/6) (2*31t+31²),

4、此时KL=√[31²+(1/6)²(2*31t+31²)²]

=31√[1+(1/6)²(2t+31)²],

=(31/6)√[6²+(2t+31)²]，则有：

当2t=-31时，有KLmin=31.

当t=22时，有：

KLmax=(31/6)√[6²+(2*22+31)²]

=(31/2)√629.

5、█已知两点过反比例函数情形

例题4：在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数y=135/x的图像交于点M，N两点，则直线MN长的最小值多少？

解：设M (t, 135/t)，根据交点的对称性可知，N (-t,-135/t)，

由两点距离公式有：

MN=√[(t+t)²+(135/t+135/t)²]

=√(4*t²+4*135²/t²)

=2√(t²+135²/t²)

≥2√(2*135)=6√30.

6、知识点：本题反比例函数图像在第一、三象限，过原点的直线为正比例函数，则与反比例函数的交点必在第一象限和第三象限，且这两个点的横、纵坐标分别互为相反数。