已知2a+26b=9,求ab的最大值方法

1、通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在2a+26b=9条件下的最大值。

2、思路一：直接代入法根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。ab=a(9/26-1/13*a)=-1/13*a^2+9/26*a=-1/13(a-9/4)^2+81/208，则当a=9/4时，ab有最大值为81/208。

3、思路二：判别式法设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。2a+26b=9,2a+26p/a=9,2a^2-9a+26p=0,对a的二次方程有：判别式△=81-208p≥0,即：p≤81/208,此时得ab=p的最大值=81/208。

4、思路三：三角换元法将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。由2a+26b=9，要求ab的最大值，不滂嫩雹霸妨设a，b均为正数，设2a=9(cost)^2，26b=9(sint)^2，则：a=(cost)^2,b=9/26(sint)^2,代入得：ab=(cost)^2*9/26(sint)^2,=81/208*(sin2t)^2,当sin2t=±1时，ab有最大值=81/208。

5、思路四：中值代换法设2a=9/2+t,26b=9/2-t，则：a=(1/2)(9/2+t),b=(1/26)(9/2-t)此时有：ab=1/52*(9/2+t)*(9/2-t)=1/52*(81/4-t^2)。当t=0时，即：ab≤81/208,则ab的最大值为81/208。

6、思路五：不等式法当a，b均为正数时，则：∵2a+26b≥2√52*ab,∴(2a+26b)^2≥208*ab,81≥208*ab,即：ab≤81/208,则ab的最大值为81/208。

7、思路六：数形几何法如图，设直线2a+26b=9上的任意一点P猾诮沓靥(a0,b0),op与x轴的夹角为θ，则： 2a0+26b0=9,b0=a0tanθ, 2a0敫苻匈酃+26a0tanθ=9，得a0=9/(2+26tanθ), |a0*b0|=81*|tanθ|/(2+26tanθ)^2,=81/[(4/|tanθ|)+104+676|tanθ|]≤81/(104+104)=81/208。则ab的最大值=81/208.

8、思路七:构造函数法设函数f(a,b)=ab-λ(2a+26b-9),则偏导数f'a=b-2λ,f'b=a-26λ,f'λ=2a+26b-9。令f'a=f'b=f'λ=0，则：b=2λ,a=26λ。进一步代入得：52λ+52λ=9,即λ=9/104.则有a=9/4,b=9/52.ab的最大值=9/4*9/52=81/208。