Mathematica对三维空间的多焦点曲面的初步研究

1、        首先，我们来绘制一个二焦点曲面——椭球面：

Manipulate[

 ContourPlot3D[

  Norm[{x, y, z} - {1, 0, 0}] + Norm[{x, y, z} - {-1, 0, 0}] == 

   a, {x, -a, a}, {y, -a, a｝， {z, -a, a}, Boxed -> False, 

  Axes -> False], {a, 2, 3}]

2、        再来绘制一个三焦点曲面。

        先定义几个点：

{P, Q, R, S, T} = {{0, 1, 0}, {1, 0, 0}, {0, 0, 1}, {1, 1, 0}, {0, 0, 0}};

X = {x, y, z};

        再作图，以P、Q、R为焦点：

b = 2;

Manipulate[

 ContourPlot3D[

  Total[Norm /@ {X - P， X - Q, X - R}] == a, {x, -b, b}, {y, -b, 

   b}, {z, -b, b}, Boxed -> False, Axes -> False], {a, 2.5, 5}]

3、        特别的，要关注一下a在2.79附近的图形：

b = 1;

ContourPlot3D[

 Total[Norm /@ {X - P, X - Q, X - R}] == 2.79, {x, -b, b}, {y, -b, 

  b}, {z, -b, b}， Boxed -> False, Axes -> False]

4、        仍旧是三焦点曲面：

ContourPlot3D[

 Sqrt[(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2] + Sqrt[x^2 + y^2 + z^2] + 

   Sqrt[x^2 + (y - 1)^2 + z^2] == 2, {x, 0, 0.6}, {y, 0.4, 

  1｝, {z, -0.3, 0.3}]

        你能看出三个焦点的坐标吗？

5、        尝试着把三个焦点转化为Locator，结果是失败的！

        如下，二维空间里的三焦点曲线代码可以运行：

Manipulate[xy = {x, y};

 Show[ContourPlot[

   Norm[xy - a] + Norm[xy - b] + Norm[xy - c] == p, {x, -3，

    3}, {y, -3, 3}], 

  Graphics[Line[{a, b, c, a}], PlotRange -> 3]], {{a, {0, 0}}, 

  Locator, Appearance -> "A"}, {{b, {0, 1}}, Locator, 

  Appearance -> "B"}, {{c, {1, 1}}, Locator, Appearance -> "C"}, 

 Dynamic[a], Dynamic[b], Dynamic[c], {p, 2, 10}]

        然而照搬到三维空间里，就不适用了！

6、        这里是三维空间情形的代码：

Manipulate[xyz = {x, y, z};

 Show[ContourPlot3D[

   Norm[xyz - a] + Norm[xyz - b] + Norm[xyz - c] == p, {x, -3, 

    3}, {y, -3, 3}, {z, -3, 3}]],

 {{a, {0, 0, 1}}, Locator, Appearance -> "A"},

 {{b, {0, 1, 0}}, Locator, Appearance -> "B"},

 {{c, {1, 0, 0}}, Locator, Appearance -> "C"},

 Dynamic[a], Dynamic[b], Dynamic[c], {p, 2, 10}]

        此时，如果只拖动滑块p，看不出异常！

        但是，如果拖动三个定位器的位置，运行结果就崩溃了！