函数y=√x(31x+32.x)的图像示意图

1、※.函数的定义域

∵√x有x≥0；对32/x有x≠0.

∴函数的定义域为：(0，+∞）。

2、dy/dx

=(3/2)*31x^(1/2)-(32/2)x^(-3/2)

=(1/2)x^(-3/2)(3*31x²-32).

令dy/dx=0,则x²=32/93.

又因为x>0，则x=(4/93)√186≈0.59.

(1)当x∈(0, (4/93)√186)时，dy/dx＜0,函数y为单调减函数；

(2)当x∈[(4/93)√186,+∞)时，dy/dx＞0,函数y为单调增函数。

3、d^2y/dx^2

=-3/4*x^(-5/2)(3*31x²-32)+3*31x*x^(-3/2)

=-3/4*x^(-5/2)(3*31x²-32)+3*31x^(-1/2)

=-3/4x^(-5/2)(3*31x²-32-4*31x²)

=3/4x^(-5/2)(31x²+32)>0,则：

函数y在定义域上为凹函数。

4、函数的极限

Lim(x→0) √x(31x+32/x)=+∞

Lim(x→+∞) √x(31x+32/x)=+∞。

5、综合以上函数的相关性质，结合函数的定义域，即可简要画出函数的示意图。