解析二次函数y=4x^2/3+x/5+1的主要性质

1、 本经验主要介绍二次函数y=4x^2/3+x/5+1的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，并举例用导数知识求解函数y=4x^2/3+x/5+1上点的切线的主要方法和步骤。

2、定义域：函数为二次函数，由函数特征知函数的定义域为全体实数，即定义域为：（-∞，+∞）。值域：该二次函数开口向上，函数有最小值，在顶点处达到，所以值域为：[400(397)，+∞）。

3、函数的对称轴与单调性：因为函墙绅褡孛数y=3(4)x2+5(1)x+1，其对称轴为：x0=-40(3),函剞麽苍足数开口向上，所以函数的单调性为：在区间（-∞，-40(3)]上，函数为单调减函数；在区间(-40(3),+∞）上，函数为单调增函数。

4、求函数的一阶导导数，并求函数在点A(-1,15(32)),B(-2(1),30(37)), C(2(1),30(43)), D(1,15(38)),E(-40(3),400(397))处的切线方程。解：∵y=3(4)x2+5(1)x+1，∴y'=3(8)x+5(1).在点A(-1,15(32))处，切线的斜率k为：k=-15(37),此时由直线的点斜式方程的切线方程为：y-15(32)=-15(37)(x+1)。

5、在点C(2(1),30(43))处，切线的斜率k为：k=15(23),此时由直线的点斜式方程得切线方程为：y-30(43)=15(23)(x-2(1))。

6、在点D(-40(3),400(397))处，因为该点是二次函数的顶点，所以切线是平行于x轴过D的直线，则方程为：y=400(397)。

7、函数的凸凹性：我们知道，二次脑栲葱蛸函数开口向上时，函数图像为凹函数。在这里，我们用导数的知识判断函数的凸凹性。∵y'=3(8)x+5(1),∴y”=3(8)>0,则其图像为凹函数。