含π-α诱导类型三角函数的不定积分

本经验介绍含π-α诱导类型三角函数的不定积分，即求∫sin(π颍骈城茇-α)dα，∫cos(π-α)dα，∫tan(π-α)dα，∫cot(π-α)dα，∫sec(π-α)dα，∫csc(π-珍提疮翘α)dα的步骤。

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三角函数基本知识

不定积分基本知识

1.含π-α的诱导公式

1、sin(π-α)=sin αcos(π-α)=-cos αtan(π-α)=-tan αcot(π-α)=-cot αsec(π-α)=-sec αcsc(π-α)=csc α

2、图例解析如下：

2.sin(π-α)的不定积分

1、∫sin(π-α)dα=-∫sin(π-α)d(π-α)=cos(π-α)+c=-cosα+c

2、图例解析如下：

3.cos(π-α)的不定积分

1、∫cos(π-α)dα=-∫cos(π-α)d(π-α)=-sin(π-α)+c=-sinα+c

2、图例解析如下：

4.tan(π-α)的不定积分

1、∫tan(π-α)dα=-∫[sin(π-α)d(π-α)/ cos(π-α)]=∫d cos(π-α)/cos(π-α)=ln|cos(π-α)|+c=ln|cosα|+c

2、图例解析如下：

5.cot(π-α)的不定积分

1、∫cot(π-α)dα=颍骈城茇-∫[cos(π-α)d(π-α)/ sin(π-α)]=-∫d sin(π-α)/sin(π-α)=-ln|sin(π-α)|+c=-ln|sinα|+c

2、图例解析如下：

6.sec(π-α)的不定积分

1、∫sec(π-α)dα=颍骈城茇-∫dα/ cos(π-α)=-∫d(π-α)/ cos(π-α)=-∫cos(π-α)d(π-α)/ [cos(π-α)]^2=-∫dsin(π-α)/ {1-[sin(π-α)]^2}=-∫dsin(π-α)/ {[1-sin(π-α)][1+ sin(π-α)]}=-(1/2){∫dsin(π-α)/ [1-sin(π-α)]+∫dsin(π-α)/ [1+sin(π-α)]}=-(1/2)ln{[1+sin(π-α)]/ [1-sin(π-α)]}+c=-(1/2)ln[(1+sinα)/(1-sinα)]+c=-(1/2)ln[(1+sinα)^2/(cosα)^2]+c=-ln|(1+sinα)/cosα|+c=-ln|secα+tanα|+c

2、图例解析如下：

7.csc(π-α)的不定积分

1、∫csc(π-α)dα=旮槽怨腊∫dα/ sin(π-α)=-∫d(π-α)/ sin(π-α)=-∫sin(π-α)d(π-α像粜杵泳)/ [sin(π-α)]^2=∫dcos(π-α)/ {1-[cos(π-α)]^2}=∫dcos(π-α)/ {[1-cos(π-α)][1+ cos(π-α)]}=(1/2){∫dcos(π-α)/ [1-cos(π-α)]+∫dcos(π-α)/ [1+cos(π-α)]}=(1/2)ln{[1+cos(π-α)]/ [1-cos(π-α)]}+c=(1/2)ln[(1-cosα)/(1+cosα)]+c=(1/2)ln[(1-cosα)^2/(sinα)^2]+c=ln|(1-cosα)/sinα|+c=ln|cscα-cotα|+c

2、图例解析如下：