七道数学极限练习题及计算过程A11

本经验以极限分子分母根据所求极限条件，以及使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e和三角函数公式，介绍7种不同情形下函数极限的计算过程。

1.计算lim(n→∞)(16n²-38)/(12n⁴+18n-12)

1、解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：lim(n→∞)(16n²-38)/(12n⁴+18n-12)=lim(n→∞)(16/n-38/n⁴)/(12+18/n³-12/n⁴),=0。

2.计算lim(n→∞)(41n-10n-29)/(27+4n-7n²)

1、解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：lim(n→∞)(41n²-10n-29)/(27+4n-7n²)=lim(n→∞)(41-10/n-29/n²)/(27/n+4/n-7),=(41-0)/(0-7),=-41/7。

2、 思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：lim(n→∞)(41n²-10n-29)/(27+4n-7n²)=lim(n→∞)(82n-10)/(4-14n)，继续使用罗必塔法则，=lim(n→∞)(82-0)/(0-14)，=-41/7。

3.求极限lim(x→1)(x³-17x+16)/(x⁴-39x+38)

1、3.求极限lim(x→1)(x³-17x+16)/(x⁴-39x+38)解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：lim(x→1)(x³-17x+16)/(x⁴-39x+38)=lim(x→1)(x-1)(x²+x-16)/[(x-1)(x³+x²+x-38)],=lim(x→1)(x²+x-16)/(x³+x²+x-38),=(1+1-16)/(1+1+1-38),=2/5。

4.求lim(x→0)(6x+28sin3x)/(30x-9sin8x)

1、解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：lim(x→0)(6x+28si荏鱿胫协n3x)/(30x-9sin8x)，=lim(x→0)(6+28sin3x/x)/(30-9sin8x/x)，=lim(x→0)(6+84sin3x/3x)/(30-72sin8x/8x)，=(6+84)/(30-72)，=-15/7。思路二：使用罗必塔法则计算有：lim(x→0)(6x+28sin3x)/(30x-9sin8x)，=lim(x→0)(6+28*3cos3x)/(30-9*8cos8x)，=(6+28*3)/(30-9*8)，=-15/7。

5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(24x+29)。

1、5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(24x+29)。解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：lim(x→∞)(x²sin1/x)/(24x+29)=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(24x+29)/x],=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[24+(29/x)],=1/{lim(x→∞)[24+(29/x)]},=1/24。

6.求lim(x→0)(sin3x-sin75x)/sin36x.

1、解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：lim(x→0)(sin3x-sin75x)/sin36x=lim(x→0)2cos39xsin(-36x)/sin36x,=lim(x→0)-2cos39x,=-2cos0=-2。

2、思路二：使用罗必塔法则计算有：lim(x→0)(sin3x-sin75x)/sin36x,=lim(x→0)(3cos3x-sin75cos75x)/(36cos36x)，=lim(x→0)(3-75)/36，=-2。

7.求lim(x→0)(1+3x)^(2/14x)。

1、7.求lim(x→0)(1+3x)^(2/14x)。解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：lim(x→0)(1+3x)^(2/14x),=lim(x→0){[(1+3x)^(1/3x)]}^(2*3/14),=e^(2*3/14),=e^(3/7)。