y=2x⁴-x²+3的函数单调凸凹性质解析

1、函数的定义域：

根据函数的特征，函数自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）。

2、函数的值域：

因为y=2x⁴-x²+3，则：

2x⁴-x²+3-y=0,对x²的二次方程有解，则：

判别式△=4-8(3-y)≥0，即：

8y≥24-4，解得y≥5/2.

故函数的值域为：[5/2,+∞]。

3、函数的单调性：

∵y=2x⁴-x²+3,

∴dy/dx=8x³-4x,令dy/dx=0,则：

8x³-4x=0,

x(4x²-2)=0,即x1=0，或者x²=1/2.

进一步求出：

x1=-√2/2,x2=0,x3=√2/2,

三个点将实数区间分成四个小区间，则：

4、(1)当x∈(-∞,-√2/2],(0,√2/2)时，

dy/dx<0,则此时函数为减函数，该区间为减区间。

(2)当x∈[-√2/2],[√2/2,+∞)时，

dy/dx>0,则此时函数为增函数，该区间为增区间。

通过单调性性可知：

当x0=±√2/2时，函数y有最小值：

ymin=f(±√2/2)

=2*(±√2/2)⁴-2*(±√2/2)²+3

=5/2.

5、函数的奇偶性：

∵f(x)=y=2x⁴-x²+3,

∴f(-x)=2*(-x)²-(-x)²+3

=2x⁴-x²+3=f(x).

即函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称。

6、函数的奇偶性：

∵f(x)=y=2x⁴-x²+3,

∴f(-x)=2*(-x)²-(-x)²+3

=2x⁴-x²+3=f(x).

即函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称。

函数的极限：

lim（x→0）2x⁴-x²+3=3;

lim（x→-∞）2x⁴-x²+3=+∞;

lim（x→+∞）2x⁴-x²+3=+∞.

7、函数的凸凹性

∵dy/dx=8x³-4x,

∴d²y/dx²=24x²-4,令d²y/dx²=0，则：

x²=1/6,求出x1=-√6/6,

x2=√6/6;则：

(1)当x∈(-∞,-√6/6),(√6/6,+∞)时，

d²y/dx²>0,则此时函数为凹函数，该区间为凹区间。

(2)当x∈[-√6/6，√6/6]时，

d²y/dx²<0,则此时函数为凸函数，该区间为凸区间。