导数的定义基本运算几何意义及应用举例D17

1、※.导数的定义应用举例[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)屏顿幂垂=lim(△x→0)[f(x+△x)幻腾寂埒-f(x)]/(△x).例题1：设函数f(x)在x=1处的导数为12，则极限lim(△x→0)[f(1+21△x)-f(1)]/(38△x)的值是多少？解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为12，其定义为：lim(△x→0)[f(1+△x)-f(1)]/(△x)= 12。对所求极限进行变形有：lim(△x→0) 21*[f(1+21△x)-f(1)]/(38*21△x)=lim(△x→0) (21/38)*[f(1+21△x)-f(1)]/(21△x),=(21/38)lim(△x→0) [f(1+21△x)-f(1)]/(21△x),=(21/38)*12,=126/19.

2、例题2:有一机器人的运动方程为s(t)=21t²+18/t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t=3时的瞬时速度为多少？解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：v(t)=s'(t)=(21t²+18/t)',=2*21t-18/t²,当t=3时，有：v(3)=2*21*3-18/3²,v(3)=40,所以机器人在时刻t=3时的瞬时速度为40。

3、※.导数的基本运算举例例题1：已知函数f(x)=(178x-97)lnx-87x²,求导数f'(1)的值。解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。∵f(x)= (178x-97)lnx-87x²，∴f'(x)=178lnx+(178x-97)*(1/x)-2*87x =178lnx+(178x-97)/x-174x.所以: f'(1)=0+178-97-174=-93.即为本题所求的值。

4、例题2:已知函数f(x)=-(15/34)x²+5xf'(6800)+6800lnx，求f'(6800)的值。解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。∵f(x)=-(15/34)x²+5xf'(6800)+6800lnx，∴f' (x)=-2*(15/34)x+5f'(6800)+6800/x,则当x=6800时，有:f'(6800)=-2*(15/34)*6800+5f'(6800)+6800/6800,即:-2*(15/34)*6800+4f'(6800)+1=0,所以: f'(6800)= 5999/4.

5、※.导数的几何意义应用举例例题1：求函数f(x)=x(6x+10)³的图像在点(1,f(1))处的切线的斜率k。 [知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。解：本题对函数求导有：f' (x)=(6x+10)³+3x(6x+10)²*6=(6x+10)²*(6x+10+3*6x)=(6x+10)²*(4*6x+10) 当x=1时，有： 斜率k=f'(1)=(6*1+10)²*(4*6*1+10)=256*34=8704，即为本题所求的值。

6、例题2：若曲线y=16x/23-19lnx在x=x₀处的切斜的斜率为5/13,则x₀的值是多少?解：对曲线y进行求导，有：y'=16/23-19/x，根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：16/23-19/x₀=5/13，即：19/x₀=16/23-5/13=93/299,所以x₀=5681/93.

7、※.导数解析函数单调性应用举例[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若垓矗梅吒x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x像粜杵泳)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。例题1:已知函数f(x)=-45lnx+72x²/8+163，计算函数f(x)的单调递减区间。解：对函数进行求导，有：∵f(x)=- 45lnx+72x²/8+163∴f'(x)=- 45/x+2*72x/8，本题要求函数的单调减区间，则：-45/x+2*72x/8＜0，(-45*8+2*72x²)/(8x)＜0，又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.故不等式解集等同于：2*72x²＜45*8，即：x²＜5/2,所以解集为：(0,(1/2)*√10).

8、例题2:已知函数f(x)=(x²+71x+1286)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。解：对函数求一阶导数有：∵f(x)=(x²+71x+1286)/eˣ∴f'(x)=[(2x+71)eˣ-(x²+71x+1286)eˣ]/e^(2x),=(2x+71-x²-71x-1286)/eˣ,=-(x²+69x+1215)/eˣ,对于函数g(x)=x²+69x+1215，其判别式为： △=69²-4*1215=-99<0, 即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0， 此时:f'(x)= -(x²+69x+1215)/eˣ＜0， 所以函数f(x)=(x²+71x+1286)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。