当a+31b=9时介绍多种方法计算ab最大值步骤

1、根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。ab=a(9/31-1/31*a)=-1/31*a^2+9/31*a=-1/31(a-9/2)^2+81/124，则当a=9/2时，ab有最大值为81/124。

2、设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。a+31b=9,a+31p/a=9,a^2-9a+31p=0,对a的二次方程有：判别式△=81-124p≥0,即：p≤81/124,此时得ab=p的最大值=81/124。

3、将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。由a+31b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，设a=9(cost)^2，31b=9(sint)^2，则：a=9(cost)^2,b=9/31(sint)^2,代入得：ab=9(cost)^2*9/31(sint)^2,=81/124*(sin2t)^2,当sin2t=±1时，ab有最大值=81/124。

4、设a=9/2+t,31b=9/2-t，则：a=(9/2+t),b=(1/31)(9/2-t)此时有：ab=1/31*(9/2+t)*(9/2-t)=1/31*(81/4-t^2)。当t=0时，即：ab≤81/124,则ab的最大值为81/124。

5、当a，b均为正数时，则：∵a+31b≥2√31*ab,∴(a+31b)^2≥124*ab,81≥124*ab,即：ab≤81/124,则ab的最大值为81/124。

6、思路六：数形几何法如图，设直线a+31b=9上的任意一点P(a0,b0),op与x轴的夹角为θ。

7、设函数f(a,b)=ab-λ(a+31b-9),则偏导数f'a=b-λ,f'b=a-泌驾台佐3λ,f'λ=a+31b-9。令f'a=f'b=f'λ=0，则：b=λ,a=3λ。进一步代入得：3λ+3λ=9,即λ=9/62.则有a=9/2,b=9/62.ab的最大值=9/2*9/62=81/124。