【高等几何】怎么用几何代数方法证Simson定理？

1、Simson定理：

给定△ABC，D是平面上的任意一点，D到△ABC三边的垂足分别是A1、B1、C1。那么A1、B1、C1三点共线等价于D在△ABC的外接圆上。

2、我们把△A1B1C1称为D关于△ABC的Simson三角形，可以记为：

e∧A1∧B1∧C1（这是齐次点）

它消失就表示三点共线。

3、用几何代数的形式，算出△ABC的外接圆半径ρ。

ρ^2=[(C ∧ B ∧ A) · (A ∧ B ∧ C)]/[(e ∧ A ∧ B ∧ C) · (e ∧ A ∧ B ∧ C)]

4、进而可以算出△ABC的外接圆圆心P。

其中X^~表示X的对偶。算式中求出来的，是P的齐次点P。

5、点D关于圆A∧B∧C的关系是：

A∧B∧C∧D=[(ρ^2−δ^2)/2]e∧A∧B∧C

其中δ表示D到圆心P的距离。特别的，当A、B、C、D四点共圆，右边等于0，左边消失。

6、D在线段AC上的垂足B1，可以表示为如下的形式。

诸点全部都是非齐次点。

7、那所有信息整合起来，就完成了Simson定理的证明。

e∧A1∧B1∧C1=(A∧B∧C∧D)/(2ρ^2)

当A、B、C、D四点共圆，右边消失；

当A1、B1、C1三点共线，左边消失。