七道数学极限练习题及计算过程C16

1、1.计算lim(n→∞)(23n²-35)/(21n⁴+15n-15)

解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。

本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：

lim(n→∞)(23n²-35)/(21n⁴+15n-15)

=lim(n→∞)(23/n-35/n⁴)/(21+15/n³-15/n⁴),

=0。

2、2.计算lim(n→∞)(28n-22n-3)/(5+17n-28n²)

解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：

lim(n→∞)(28n²-22n-3)/(5+17n-28n²)

=lim(n→∞)(28-22/n-3/n²)/(5/n+17/n-28),

=(28-0)/(0-28),

=-1。

   思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：

lim(n→∞)( 28n²-22n-3)/(5+17n-28n²)

=lim(n→∞)(56n-22)/(17-56n)，继续使用罗必塔法则，

=lim(n→∞)(56-0)/(0-56)，

=-1。

3、3.求极限lim(x→1)(x³-38x+37)/(x⁴-36x+35)

解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：

lim(x→1)(x³-38x+37)/(x⁴-36x+35)

=lim(x→1)(x-1)(x²+x-37)/[(x-1)(x³+x²+x-35)],

=lim(x→1)(x²+x-37)/(x³+x²+x-35),

=(1+1-37)/(1+1+1-35),

=35/32。

4、4.求lim(x→0)(6x+9sin10x)/(12x-35sin10x)

解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：

lim(x→0)(6x+9sin10x)/(12x-35sin10x)，

=lim(x→0)(6+9sin10x/x)/(12-35sin10x/x)，

=lim(x→0)(6+90sin10x/10x)/(12-350sin10x/10x)，

=(6+90)/(12-350)，

=-48/169。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(6x+9sin10x)/(12x-35sin10x)，

=lim(x→0)(6+9*10cos10x)/(12-35*10cos10x)，

=(6+9*10)/(12-35*10)，

=-48/169。

5、5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(31x+50)。

解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：

lim(x→∞)(x²sin1/x)/(31x+50)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(31x+50)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[31+(50/x)],

=1/{lim(x→∞)[31+(50/x)]},

=1/31。

6、6.求lim(x→0)(sin25x-sin81x)/sin28x.

解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：

lim(x→0)(sin25x-sin81x)/sin28x

=lim(x→0)2cos53xsin(-28x)/sin28x,

=lim(x→0) -2cos53x,

=-2cos0=-2。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(sin25x-sin81x)/sin28x,

=lim(x→0)(25cos25x-sin81cos81x)/(28cos28x)，

=lim(x→0)(25-81)/28，

=-2。

7、7.求lim(x→0)(1+9x)^(8/11x)。

解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：

lim(x→0)(1+9x)^(8/11x),

=lim(x→0){[(1+9x)^(1/9x)]}^(8*9/11),

=e^(8*9/11),

=e^(72/11)。