对正定矩阵进行Cholesky分解（Mathematica）

1、A = {a, a^2, a^3, a^4, a^5};

其中，a = Range[5];

A不能进行Cholesky分解：

b = CholeskyDecomposition[A];

2、Hilbert矩阵都是正定矩阵：

B = HilbertMatrix[6];

3、因此，可以对Hilbert矩阵进行Cholesky分解：

c = CholeskyDecomposition[B];

这里的c是一个上对角矩阵。

4、计算c的共轭转置：

d=ConjugateTranspose【c】

5、d与c的矩阵积，就是B。

6、判断矩阵是否正定矩阵，可以查看矩阵的特征值是否全是正数：

N@Eigenvalues[A]

还可以检测矩阵的所有主子式的行列式是否都是正数：

Table[Det[A[[1 ;; n, 1 ;; n]]], {n, 1, 5}]

两种方法都证明了A是正定矩阵。

7、可是为什么A不能进行Cholesky分解？