如何证明三角形三条高交于一点

1、证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。

已知：△ABC的两条高BE、CF相交于点O，第三条高AD交高BD于点Q，交高CF于点P。

求证：P、Q、O三点重合

证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB

∴∠AEB = ∠AFC = 90°

又∵∠BAE = ∠CAF

∴△ABE ∽ △ACF

∴，

即AB·AF = AC·AE

又∵AD⊥BC

∴△AEQ ∽ △ADC，△AFP ∽ △ADB

∴，

即AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·AP

∵AB·AF = AC·AE，AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·AP

∴AD·AQ = AD·AP

∴AQ = AP

∵点Q、P都在线段AD上

∴点Q、P重合

∴AD与BE、AD与CF交于同一点

∵两条不平行的直线只有一个交点

∴BE与CF也交于此点

∴点Q、P、O重合。

2、证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，运用四点共圆性质。

已知：△ABC的两条高AD、BE相交于点O，第三条高CF交高AB于点F，连结CO交AB于点F。

求证：CF⊥AB。

证明:∵AD⊥BC于E，BE⊥AC于E

∴A、B、D、E四点共圆

∴∠1＝∠ABE

同理∠2＝∠1

∴∠2＝∠ABE

∵∠ABE+∠BAC＝90°，

∴∠2+∠BAC＝90°

即CF⊥AB。

3、证法三：证明两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法证明。

证明：如图6，以直线BC为x轴，高AD为y轴，建立直角坐标系，设A(0 , a) , B(b , 0) , C(c , 0),由两条直线垂直的条件

则三条高的直线方程分别为：

解（2）和（3）得

          ∴

这说明BE和CF得交点在AD上，所以三角形的三条高相交于一点。

4、证法四：转化为证明另一个三角形的三条中垂线（或中线）交于一点。

已知：AD、BE、CF是△ABC的三条高。

求证：AD、BE、CF相交于一点。

证明：过点A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线ML、MN、NL

          ∵AM∥BC，MB∥AC

          ∴四边形AMBC是平行四边形

          ∴AM＝BC

          同理，AL＝BC 

          ∴AM＝AL

          ∵AD⊥ML

∴AD是ML的垂直平分线

同理，BE、CF分别是MN、NL的垂直平分线

而三角形的三条垂直平分线相交于一点

          ∴AD、BE、CF相交于一点。

5、证法五：运用锡瓦（Ceva）定理证明。

已知：AD、BE、CF是△ABC的三条高。

求证：AD、BE、CF相交于一点。

证明：如图，∵AD⊥BC于E，BE⊥AC于E 

∴△ABD ∽ △CBF

∴          （1）

同理，由△ADC ∽ △BEC得 

，          （2）

由△AFC ∽ △AEB 

            （3）

三式相乘得 

即

∴AD、BE、CF相交于一点。

6、证法六：用向量方法证明（初中没有学过相关知识的可以不掌握）