两种方法计算含有xy乘积的函数最小值举例F25

1、      问题由来:若实数x,y满足W(x,y)=101x²-20xy+y²-42y+468x+934,则w的最小值是多少？

1、 运用配方法将W(x,y)=101x²-20xy+y²-42y+468x+934变形为W(x,y)=(ax+by+c)²+(dx+e)²-f形式，然后根据非负数的性质求出的最小值即可．

  解：W(x,y)=101x²-20xy+y-42y²+468x+934

=100x²-20xy+y+420x-42y²+441+x²²+48x+576-83

=(10x-y)²+42(10x-y)+441+(x+24)²-83

=(10x-y+21)²+(x+24)²-83

2、∵x,y为实数，

∴(10x-y+21)²≥0，(x+24)²≥0,

此时x=-24，y=-219,

∴W的最小值为：Wmin=-83.

1、W(x,y)=101x²-20xy+y²-42y+468x+934，求出W分别对变量x,y的偏导数，由偏导数同时为0来求出多元函数W的最小值。

W|x’=202x-20y+468,

W|y’=-20x+2y-42;

令W|x’=W|y’=0，则：

20y-202x=468,

2y-20x=42.

2、解二元一次方程组，有：

x=-24,y=-219;

此时将x,y代入到W表达式中，有：

Wmin=W(-24,-219)

=101*(-24)²-20*(-24)*(-219)+(-219)²

-42*(-219)+468*(-24)+934,

=58176-105120+47961+9198+(-11232)+934,

=-83.