两种方法计算含有xy乘积的函数最小值举例F23

1、      问题由来:若实数x,y满足W(x,y)=730x²-54xy+y²-52y+1422x+663,则w的最小值是多少？

1、 运用配方法将W(x,y)=730x²-54xy+y²-52y+1422x+663变形为W(x,y)=(ax+by+c)²+(dx+e)²-f形式，然后根据非负数的性质求出的最小值即可．

  解：W(x,y)=730x²-54xy+y-52y²+1422x+663

=729x²-54xy+y+1404x-52y²+676+x²²+18x+81-94

=(27x-y)²+52(27x-y)+676+(x+9)²-94

=(27x-y+26)²+(x+9)²-94

2、∵x,y为实数，

∴(27x-y+26)²≥0，(x+9)²≥0,

此时x=-9，y=-217,

∴W的最小值为：Wmin=-94.

1、W(x,y)=730x²-54xy+y²-52y+1422x+663，求出W分别对变量x,y的偏导数，由偏导数同时为0来求出多元函数W的最小值。

W|x’=1460x-54y+1422,

W|y’=-54x+2y-52;

令W|x’=W|y’=0，则：

54y-1460x=1422,

2y-54x=52.

2、解二元一次方程组，有：

x=-9,y=-217;

此时将x,y代入到W表达式中，有：

Wmin=W(-9,-217)

=730*(-9)²-54*(-9)*(-217)+(-217)²

²-52*(-217)+1422*(-9)+663,

=59130-105462+47089+11284+(-12798)+663,

=-94.