数学极限练习题及计算过程举例A14

1、1.计算lim(n→∞)(18n²-17)/(21n⁴+18n-16)

解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。

本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：

lim(n→∞)(18n²-17)/(21n⁴+18n-16)

=lim(n→∞)(18/n-17/n⁴)/(21+18/n³-16/n⁴),

=0。

2、2.计算lim(n→∞)(45n-12n-11)/(15+11n-39n²)

解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：

lim(n→∞)(45n²-12n-11)/(15+11n-39n²)

=lim(n→∞)(45-12/n-11/n²)/(15/n+11/n-39),

=(45-0)/(0-39),

=-15/13。

3、思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：

lim(n→∞)( 45n²-12n-11)/(15+11n-39n²)

=lim(n→∞)(90n-12)/(11-78n)，继续使用罗必塔法则，

=lim(n→∞)(90-0)/(0-78)，

=-15/13。

4、3.求极限lim(x→1)(x³-15x+14)/(x⁴-21x+20)

解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：

lim(x→1)(x³-15x+14)/(x⁴-21x+20)

=lim(x→1)(x-1)(x²+x-14)/[(x-1)(x³+x²+x-20)],

=lim(x→1)(x²+x-14)/(x³+x²+x-20),

=(1+1-14)/(1+1+1-20),

=12/17。

5、4.求lim(x→0)(15x+20sin5x)/(32x-14sin3x)

解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：

lim(x→0)(15x+20sin5x)/(32x-14sin3x)，

=lim(x→0)(15+20sin5x/x)/(32-14sin3x/x)，

=lim(x→0)(15+100sin5x/5x)/(32-42sin3x/3x)，

=(15+100)/(32-42)，

=-23/2。

6、思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(15x+20sin5x)/(32x-14sin3x)，

=lim(x→0)(15+20*5cos5x)/(32-14*3cos3x)，

=(15+20*5)/(32-14*3)，

=-23/2。

7、5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(27x+30)。

解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：

lim(x→∞)(x²sin1/x)/(27x+30)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(27x+30)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[27+(30/x)],

=1/{lim(x→∞)[27+(30/x)]},

=1/27。