七道数学极限练习题及计算过程A1

1、1.计算lim(n→∞)(5n²-34)/(11n⁴+7n-16)

解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。

本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：

lim(n→∞)(5n²-34)/(11n⁴+7n-16)

=lim(n→∞)(5/n-34/n⁴)/(11+7/n³-16/n⁴),

=0。

2、2.计算lim(n→∞)(18n-16n-6)/(24+4n-6n²)

解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：

lim(n→∞)(18n²-16n-6)/(24+4n-6n²)

=lim(n→∞)(18-16/n-6/n²)/(24/n+4/n-6),

=(18-0)/(0-6),

=-3。

3、 函数的极限是数学中的一个概念，它描述了当函数自变量接近某个值时，函数值的演变趋势。具体来说，如果当x趋近于x0（或者无穷大）时，函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A，那么就说A是函数f(x)在x趋近于x0（或者无穷大）时的极限。

4、思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：

lim(n→∞)( 18n²-16n-6)/(24+4n-6n²)

=lim(n→∞)(36n-16)/(4-12n)，继续使用罗必塔法则，

=lim(n→∞)(36-0)/(0-12)，

=-3。

5、3.求极限lim(x→1)(x³-33x+32)/(x⁴-40x+39)

解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：

lim(x→1)(x³-33x+32)/(x⁴-40x+39)

=lim(x→1)(x-1)(x²+x-32)/[(x-1)(x³+x²+x-39)],

=lim(x→1)(x²+x-32)/(x³+x²+x-39),

=(1+1-32)/(1+1+1-39),

=5/6。

6、4.求lim(x→0)(12x+21sin3x)/(17x-12sin9x)

解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：

lim(x→0)(12x+21sin3x)/(17x-12sin9x)，

=lim(x→0)(12+21sin3x/x)/(17-12sin9x/x)，

=lim(x→0)(12+63sin3x/3x)/(17-108sin9x/9x)，

=(12+63)/(17-108)，

=-75/91。

7、       函数的极限概念在数学分析中非常重要，它可以帮助我们研究函数的性质，解决与函数相关的问题。同时，函数的极限也是微积分的基础概念之一。

8、思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(12x+21sin3x)/(17x-12sin9x)，

=lim(x→0)(12+21*3cos3x)/(17-12*9cos9x)，

=(12+21*3)/(17-12*9)，

=-75/91。

9、5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(3x+19)。

解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：

lim(x→∞)(x²sin1/x)/(3x+19)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(3x+19)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[3+(19/x)],

=1/{lim(x→∞)[3+(19/x)]},

=1/3。

10、6.求lim(x→0)(sin43x-sin57x)/sin7x.

解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：

lim(x→0)(sin43x-sin57x)/sin7x

=lim(x→0)2cos50xsin(-7x)/sin7x,

=lim(x→0) -2cos50x,

=-2cos0=-2。

11、思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(sin43x-sin57x)/sin7x,

=lim(x→0)(43cos43x-sin57cos57x)/(7cos7x)，

=lim(x→0)(43-57)/7，

=-2。

12、7.求lim(x→0)(1+4x)^(8/12x)。

解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：

lim(x→0)(1+4x)^(8/12x),

=lim(x→0){[(1+4x)^(1/4x)]}^(8*4/12),

=e^(8*4/12),

=e^(8/3)。