导数的定义基本运算几何意义及应用举例D12
1、※.[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).
例题1：设函数f(x)在x=4处的导数为21，则极限lim(△x→0)[f(4+53△x)-f(4)]/(12△x)的值是多少？
解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为21，其定义为：lim(△x→0)[f(4+△x)-f(4)]/(△x)= 21。
对所求极限进行变形有：
lim(△x→0) 53*[f(4+53△x)-f(4)]/(12*53△x)
=lim(△x→0) (53/12)*[f(4+53△x)-f(4)]/(53△x),
=(53/12)lim(△x→0) [f(4+53△x)-f(4)]/(53△x),
=(53/12)*21,
=371/4.
例题2:有一小车的运动方程为s(t)=10t²+44/t(t是时间，s是位移)，则该小车在时刻t=7时的瞬时速度为多少？
解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：
v(t)=s'(t)=(10t²+44/t)',
=2*10t-44/t²,
当t=7时，有：
v(7)=2*10*7-44/7²,
v(7)=936/49,
所以小车在时刻t=7时的瞬时速度为936/49。
1、※.例题1：已知函数f(x)=(14x-98)lnx-68x²,求导数f'(1)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。
∵f(x)= (14x-98)lnx-68x²，
∴f'(x)=14lnx+(14x-98)*(1/x)-2*68x
=14lnx+(14x-98)/x-136x.
所以: f'(1)=0+14-98-136=-220.
即为本题所求的值。
例题2:已知函数f(x)=-(17/30)x²+40xf'(6000)+6000lnx，求f'(6000)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。
∵f(x)=-(17/30)x²+40xf'(6000)+6000lnx，
∴f' (x)=-2*(17/30)x+40f'(6000)+6000/x,
则当x=6000时，有:
f'(6000)=-2*(17/30)*6000+40f'(6000)+6000/6000,
即:-2*(17/30)*6000+39f'(6000)+1=0,
所以: f'(6000)= 523/3.
1、例题1：求函数f(x)=x(13x+16)³的图像在点(1,f(1))处的切线的斜率k。
[知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。
解：本题对函数求导有：
f' (x)=(13x+16)³+3x(13x+16)²*13
=(13x+16)²*(13x+16+3*13x)
=(13x+16)²*(4*13x+16)
当x=1时，有：
斜率k=f'(1)
=(13*1+16)²*(4*13*1+16)
=841*68
=57188，即为本题所求的值。
例题2：若曲线y=23x/20-7lnx在x=x₀处的切斜的斜率为17/23,则x₀的值是多少?
解：对曲线y进行求导，有：
y'=23/20-7/x，
根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：
23/20-7/x₀=17/23，
即：7/x₀=23/20-17/23=189/460,
所以x₀=460/27.
1、[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。
例题1:已知函数f(x)=-29lnx+30x²/2+209，计算函数f(x)的单调递减区间。
解：对函数进行求导，有：
∵f(x)=- 29lnx+30x²/2+209
∴f'(x)=- 29/x+2*30x/2，
本题要求函数的单调减区间，则：
-29/x+2*30x/2＜0，
(-29*2+2*30x²)/(2x)＜0，
又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.
故不等式解集等同于：
2*30x²＜29*2，
即：x²＜29/30,
所以解集为：(0,(1/30)*√870).
例题2:已知函数f(x)=(x²+32x+277)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。
解：对函数求一阶导数有：
∵f(x)=(x²+32x+277)/eˣ
∴f'(x)=[(2x+32)eˣ-(x²+32x+277)eˣ]/e^(2x),
=(2x+32-x²-32x-277)/eˣ,
=-(x²+30x+245)/eˣ,
对于函数g(x)=x²+30x+245，其判别式为：
△=30²-4*245=-80<0,
即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0，
此时:f'(x)= -(x²+30x+245)/eˣ＜0，
所以函数f(x)=(x²+32x+277)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。