导数的定义基本运算几何意义及应用举例D3
1、[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).
例题1：设函数f(x)在x=4处的导数为33，则极限lim(△x→0)[f(4+44△x)-f(4)]/(27△x)的值是多少？
解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为33，其定义为：lim(△x→0)[f(4+△x)-f(4)]/(△x)= 33。
对所求极限进行变形有：
lim(△x→0) 44*[f(4+44△x)-f(4)]/(27*44△x)
=lim(△x→0) (44/27)*[f(4+44△x)-f(4)]/(44△x),
=(44/27)lim(△x→0) [f(4+44△x)-f(4)]/(44△x),
=(44/27)*33,
=484/9.
2、例题2:有一小车的运动方程为s(t)=6t²+16/t(t是时间，s是位移)，则该小车在时刻t=3时的瞬时速度为多少？
解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：
v(t)=s'(t)=(6t²+16/t)',
=2*6t-16/t²,
当t=3时，有：
v(3)=2*6*3-16/3²,
v(3)=92/9,
所以小车在时刻t=3时的瞬时速度为92/9。
1、例题1：已知函数f(x)=(114x-11)lnx-85x²,求导数f'(1)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。
∵f(x)= (114x-11)lnx-85x²，
∴f'(x)=114lnx+(114x-11)*(1/x)-2*85x
=114lnx+(114x-11)/x-170x.
所以: f'(1)=0+114-11-170=-67.
即为本题所求的值。
2、例题2:已知函数f(x)=-(19/34)x²+6xf'(3400)+3400lnx，求f'(d14)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。
∵f(x)=-(19/34)x²+6xf'(3400)+3400lnx，
∴f' (x)=-2*(19/34)x+6f'(3400)+3400/x,
则当x=3400时，有:
f'(3400)=-2*(19/34)*3400+6f'(3400)+3400/3400,
即:-2*(19/34)*3400+5f'(3400)+1=0,
所以: f'(3400)= 3799/5.
1、 [知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。
例题1：求函数f(x)=x(10x+14)³的图像在点(0,f(0))处的切线的斜率k。
解：本题对函数求导有：
f' (x)=(10x+14)³+3x(10x+14)²*10
=(10x+14)²*(10x+14+3*10x)
=(10x+14)²*(4*10x+14)
当x=0时，有：
斜率k=f'(0)
=(10*0+14)²*(4*10*0+14)
=196*14
=2744，即为本题所求的值。
2、例题2：若曲线y=10x/14-15lnx在x=x₀处的切斜的斜率为2/13,则x₀的值是多少?
解：对曲线y进行求导，有：
y'=10/14-15/x，
根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：
10/14-15/x₀=2/13，
即：15/x₀=10/14-2/13=51/91,
所以x₀=455/17.
1、[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。
例题1:已知函数f(x)=-6lnx+7x²/22+9，计算函数f(x)的单调递减区间。
解：对函数进行求导，有：
∵f(x)=- 6lnx+7x²/22+9
∴f'(x)=- 6/x+2*7x/22，
本题要求函数的单调减区间，则：
-6/x+2*7x/22＜0，
(-6*22+2*7x²)/(22x)＜0，
又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.
故不等式解集等同于：
2*7x²＜6*22，
即：x²＜66/7,
所以解集为：(0,(1/7)*√462).
2、例题2:已知函数f(x)=(x²+70x+1317)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。
解：对函数求一阶导数有：
∵f(x)=(x²+70x+1317)/eˣ
∴f'(x)=[(2x+70)eˣ-(x²+70x+1317)eˣ]/e^(2x),
=(2x+70-x²-70x-1317)/eˣ,
=-(x²+68x+1247)/eˣ,
对于函数g(x)=x²+68x+1247，其判别式为：
△=68²-4*1247=-364<0,
即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0，
此时:f'(x)= -(x²+68x+1247)/eˣ＜0，
所以函数f(x)=(x²+70x+1317)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。