导数的定义基本运算几何意义及应用举例D3

本文通过例题，详细介绍导数的定义理解、基本运算过程、导数的几何意义应用及导数判断函数单调性应用等内容。

※.导数的定义应用举例

1、[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).例题1：设函数f(x)在x=4处的导数为33，则极限lim(△x→0)[f(4+44△x)-f(4)]/(27△x)的值是多少？解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为33，其定义为：lim(△x→0)[f(4+△x)-f(4)]/(△x)= 33。对所求极限进行变形有：lim(△x→0) 44*[f(4+44△x)-f(4)]/(27*44△x)=lim(△x→0) (44/27)*[f(4+44△x)-f(4)]/(44△x),=(44/27)lim(△x→0) [f(4+44△x)-f(4)]/(44△x),=(44/27)*33,=484/9.

2、例题2:有一小车的运动方程为s(t)=6t²+16/t(t是时间，s是位移)，则该小车在时刻t=3时的瞬时速度为多少？解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：v(t)=s'(t)=(6t²+16/t)',=2*6t-16/t²,当t=3时，有：v(3)=2*6*3-16/3²,v(3)=92/9,所以小车在时刻t=3时的瞬时速度为92/9。

※.导数的基本运算举例

1、例题1：已知函数f(x)=(114x-11)lnx-85x²,求导数f'(1)的值。解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。∵f(x)= (114x-11)lnx-85x²，∴f'(x)=114lnx+(114x-11)*(1/x)-2*85x =114lnx+(114x-11)/x-170x.所以: f'(1)=0+114-11-170=-67.即为本题所求的值。

2、例题2:已知函数f(x)=-(19/34)x²+6xf'(3400)+3400lnx，求f'(d14)的值。解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。∵f(x)=-(19/34)x²+6xf'(3400)+3400lnx，∴f' (x)=-2*(19/34)x+6f'(3400)+3400/x,则当x=3400时，有:f'(3400)=-2*(19/34)*3400+6f'(3400)+3400/3400,即:-2*(19/34)*3400+5f'(3400)+1=0,所以: f'(3400)= 3799/5.

※.导数的几何意义应用举例

1、[知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。例题1：求函数f(x)=x(10x+14)³的图像在点(0,f(0))处的切线的斜率k。解：本题对函数求导有：f' (x)=(10x+14)³+3x(10x+14)²*10=(10x+14)²*(10x+14+3*10x)=(10x+14)²*(4*10x+14) 当x=0时，有： 斜率k=f'(0)=(10*0+14)²*(4*10*0+14)=196*14=2744，即为本题所求的值。

2、例题2：若曲线y=10x/14-15lnx在x=x₀处的切斜的斜率为2/13,则x₀的值是多少?解：对曲线y进行求导，有：y'=10/14-15/x，根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：10/14-15/x₀=2/13，即：15/x₀=10/14-2/13=51/91,所以x₀=455/17.

※.导数解析函数单调性应用举例

1、[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。例题1:已知函数f(x)=-6lnx+7x²/22+9，计算函数f(x)的单调递减区间。解：对函数进行求导，有：∵f(x)=- 6lnx+7x²/22+9∴f'(x)=- 6/x+2*7x/22，本题要求函数的单调减区间，则：-6/x+2*7x/22＜0，(-6*22+2*7x²)/(22x)＜0，又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.故不等式解集等同于：2*7x²＜6*22，即：x²＜66/7,所以解集为：(0,(1/7)*√462).

2、例题2:已知函数f(x)=(x²+70x+1317)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。解：对函数求一阶导数有：∵f(x)=(x²+70x+1317)/eˣ∴f'(x)=[(2x+70)eˣ-(x²+70x+1317)eˣ]/e^(2x),=(2x+70-x²-70x-1317)/eˣ,=-(x²+68x+1247)/eˣ,对于函数g(x)=x²+68x+1247，其判别式为： △=68²-4*1247=-364<0, 即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0， 此时:f'(x)= -(x²+68x+1247)/eˣ＜0， 所以函数f(x)=(x²+70x+1317)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。