两种方法计算含有xy乘积的函数最小值举例F22

1、      问题由来:若实数x,y满足W(x,y)=485x²-44xy+y²-14y+312x-3,则w的最小值是多少？

1、 运用配方法将W(x,y)=485x²-44xy+y²-14y+312x-3变形为W(x,y)=(ax+by+c)²+(dx+e)²-f形式，然后根据非负数的性质求出的最小值即可．

  解：W(x,y)=485x²-44xy+y-14y²+312x-3

=484x²-44xy+y+308x-14y²+49+x²²+4x+4-56

=(22x-y)²+14(22x-y)+49+(x+2)²-56

=(22x-y+7)²+(x+2)²-56

2、∵x,y为实数，

∴(22x-y+7)²≥0，(x+2)²≥0,

此时x=-2，y=-37,

∴W的最小值为：Wmin=-56.

1、W(x,y)=485x²-44xy+y²-14y+312x-3，求出W分别对变量x,y的偏导数，由偏导数同时为0来求出多元函数W的最小值。

W|x’=970x-44y+312,

W|y’=-44x+2y-14;

令W|x’=W|y’=0，则：

44y-970x=312,

2y-44x=14.

2、解二元一次方程组，有：

x=-2,y=-37;

此时将x,y代入到W表达式中，有：

Wmin=W(-2,-37)

=485*(-2)²-44*(-2)*(-37)+(-37)²

²-14*(-37)+312*(-2)-3,

=1940-3256+1369+518+(-624)-3,

=-56.