导数的定义基本运算几何意义及应用举例D14

1、※.导数的定义应用举例[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)屏顿幂垂=lim(△x→0)[f(x+△x)幻腾寂埒-f(x)]/(△x).例题1：设函数f(x)在x=5处的导数为17，则极限lim(△x→0)[f(5+5△x)-f(5)]/(37△x)的值是多少？解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为17，其定义为：lim(△x→0)[f(5+△x)-f(5)]/(△x)= 17。对所求极限进行变形有：lim(△x→0) 5*[f(5+5△x)-f(5)]/(37*5△x)=lim(△x→0) (5/37)*[f(5+5△x)-f(5)]/(5△x),=(5/37)lim(△x→0) [f(5+5△x)-f(5)]/(5△x),=(5/37)*17,=85/37.

2、例题2:有一小车的运动方程为s(t)=14t²+28/t(t是时间，s是位移)，则该小车在时刻t=8时的瞬时速度为多少？解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：v(t)=s'(t)=(14t²+28/t)',=2*14t-28/t²,当t=8时，有：v(8)=2*14*8-28/8²,v(8)=441/16,所以小车在时刻t=8时的瞬时速度为441/16。

3、※.导数的基本运算举例例题1：已知函数f(x)=(90x-105)lnx-26x²,求导数f'(1)的值。解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。∵f(x)= (90x-105)lnx-26x²，∴f'(x)=90lnx+(90x-105)*(1/x)-2*26x =90lnx+(90x-105)/x-52x.所以: f'(1)=0+90-105-52=-67.即为本题所求的值。

4、例题2:已知函数f(x)=-(21/30)x²+34xf'(3000)+3000lnx，求f'(d14)的值。解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。∵f(x)=-(21/30)x²+34xf'(3000)+3000lnx，∴f' (x)=-2*(21/30)x+34f'(3000)+3000/x,则当x=3000时，有:f'(3000)=-2*(21/30)*3000+34f'(3000)+3000/3000,即:-2*(21/30)*3000+33f'(3000)+1=0,所以: f'(3000)= 4199/33.

5、※.导数的几何意义应用举例例题1：求函数f(x)=x(3x+5)³的图像在点(1,f(1))处的切线的斜率k。 [知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。解：本题对函数求导有：f' (x)=(3x+5)³+3x(3x+5)²*3=(3x+5)²*(3x+5+3*3x)=(3x+5)²*(4*3x+5) 当x=1时，有： 斜率k=f'(1)=(3*1+5)²*(4*3*1+5)=64*17=1088，即为本题所求的值。

6、例题2：若曲线y=11x/2-8lnx在x=x₀处的切斜的斜率为16/3,则x₀的值是多少?解：对曲线y进行求导，有：y'=11/2-8/x，根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：11/2-8/x₀=16/3，即：8/x₀=11/2-16/3=1/6,所以x₀=48.

7、※.导数解析函数单调性应用举例[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若垓矗梅吒x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x像粜杵泳)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。例题1:已知函数f(x)=-18lnx+19x²/6+74，计算函数f(x)的单调递减区间。解：对函数进行求导，有：∵f(x)=- 18lnx+19x²/6+74∴f'(x)=- 18/x+2*19x/6，本题要求函数的单调减区间，则：-18/x+2*19x/6＜0，(-18*6+2*19x²)/(6x)＜0，又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.故不等式解集等同于：2*19x²＜18*6，即：x²＜54/19,所以解集为：(0,(3/19)*√114).

8、例题2:已知函数f(x)=(x²+64x+1068)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。解：对函数求一阶导数有：∵f(x)=(x²+64x+1068)/eˣ∴f'(x)=[(2x+64)eˣ-(x²+64x+1068)eˣ]/e^(2x),=(2x+64-x²-64x-1068)/eˣ,=-(x²+62x+1004)/eˣ,对于函数g(x)=x²+62x+1004，其判别式为： △=62²-4*1004=-172<0, 即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0， 此时:f'(x)= -(x²+62x+1004)/eˣ＜0， 所以函数f(x)=(x²+64x+1068)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。