两种方法计算含有xy乘积的函数最小值举例F12

1、      问题由来:若实数x,y满足W(x,y)=401x²-40xy+y²-52y+1096x+1449，则w的最小值是多少？

2、※.配方法求解

   运用配方法将W(x,y)=401x²-40xy+y²-52y+1096x+1449变形为W(x,y)=(ax+by+c)²+(dx+e)²-f形式，然后根据非负数的性质求出的最小值即可．

  解：W(x,y)=401x²-40xy+y-52y²+1096x+1449

=400x²-40xy+y+1040x-52y²+676+x²²+56x+784-11

=(20x-y)²+52(20x-y)+676+(x+28)²-11

=(20x-y+26)²+(x+28)²-11

3、∵x,y为实数，

∴(20x-y+26)²≥0，(x+28)²≥0,

此时x=-28，y=-534,

∴W的最小值为：Wmin=-11.

4、※.导数法求解

W(x,y)=401x²-40xy+y²-52y+1096x+1449，求出W分别对变量x,y的偏导数，由偏导数同时为0来求出多元函数W的最小值。

W|x’=802x-40y+1096,

W|y’=-40x+2y-52;

令W|x’=W|y’=0，则：

40y-802x=1096,

2y-40x=52.

5、解二元一次方程组，有：

x=-28,y=-534;

此时将x,y代入到W表达式中，有：

Wmin=W(-28,-534)

=401*(-28)²-40*(-28)*(-534)+(-534)²

²-52*(-534)+1096*(-28)+1449,

=314384-598080+285156--27768+(-30688)+1449,

=-11.