计算ab在条件a+38b=9时最大值的主要过程和步骤

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在已知条件下的最大值。

思路一：直接代入法

1、根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。ab=a(9/38-1/38*a)=-1/38*a^2+9/38*a=-1/38(a-9/2)^2+81/152，则当a=9/2时，ab有最大值为81/152。

思路二：判别式法

1、设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。a+38b=9,a+38p/a=9,a^2-9a+38p=0,对a的二次方程有：判别式△=81-152p≥0,即：p≤81/152,此时得ab=p的最大值=81/152。

思路三：三角换元法

1、将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。由a+38b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，设a=9(cost)^2，38b=9(sint)^2，则：a=9(cost)^2,b=9/38(sint)^2,代入得：ab=9(cost)^2*9/38(sint)^2,=81/152*(sin2t)^2,当sin2t=±1时，ab有最大值=81/152。

思路四：中值代换法

1、设a=9/2+t,38b=9/2-t，则：a=(9/2+t),b=(1/38)(9/2-t)此时有：ab=1/38*(9/2+t)*(9/2-t)=1/38*(81/4-t^2)。当t=0时，即：ab≤81/152,则ab的最大值为81/152。

思路五：不等式法

1、当a，b均为正数时，则：∵a+38b≥2√38*ab,∴(a+38b)^2≥152*ab,81≥152*ab,即：ab≤81/152,则ab的最大值为81/152。

思路六：数形几何法

1、如图，设直线a+38b=9上的任意一点P(a0,b0),op与x轴的夹角为θ，则： a0+38b0=9,b0=a0tanθ, a0+38a0tanθ=9，得a0=9/(1+38tanθ), |a0*b0|=81*|tanθ|/(1+38tanθ)^2,=81/[(1/|tanθ|)+76+1444|tanθ|]≤81/(76+76)=81/152。则ab的最大值=81/152.

思路七:构造函数法

1、设函数f(a,b)=ab-λ(a+38b-9),则偏导数f'a=b-λ,f'b=a-38λ,f'λ=a+38b-9。令f'a=f'b=f'λ=0，则：b=λ,a=38λ。进一步代入得：38λ+38λ=9,即λ=9/76.则有a=9/2,b=9/76.ab的最大值=9/2*9/76=81/152。