隐函数65x^55x+51e^53y=52x^5y的导数计算

1、※.链式求导法

65x^55x+51e^53y=52x^5y,

隐函数变形有：
65e^(55xlnx)+ 51e^53y=52e^(5ylnx)
两边同时求导有：
65e^(55xlnx)*(55lnx+55x/x)+51e^53y*53y'=52e^(5ylnx)*(5y'lnx+5y/x),

3575e^(55xlnx)*(lnx+1)+2703e^53y*y'=260e^(5ylnx)*(y'lnx+y/x),

y'=[260e^(5ylnx)*y/x-3575e^(55xlnx)*(lnx+1)]/[ 2703e^53y-260e^(5ylnx)lnx]
=[260e^(5ylnx)*y/x-3575e^(55xlnx)*(lnx+1)]/[2703e^53y-260e^(5ylnx)lnx]

=[260*x^5y*y/x-3575*x^55x*(lnx+1)]/( [2703e^53y-260*x^5ylnx)

=[260*y*x^(5y-1) -3575*x^55x*(lnx+1)]/( 2703e^53y-260*x^5ylnx)。

2、隐函数变形为：

65e^(55xlnx)+51e^53y=52e^(5ylnx)，

使用全微分计算法，有：

65e^(55xlnx)*(55lnxdx+55dx)+2703*e^53ydy=52e^(5ylnx)*(5lnxdy+5ydx/x)

3575*e^(55xlnx)*(lnx+1)dx+2703*e^53ydy=260*e^(5ylnx)*lnxdy+260*e^(5ylnx)ydx/x

[2703*e^53y-260*e^(5ylnx)*lnx]dy=[260*e^(5ylnx)y/x-3575*e^(55xlnx)*(lnx+1)]dx

[2703*e^53y-260*x^5y*lnx]dy=[260*yx^(5y-1)- 3575*x^55x*(lnx+1)]dx

所以：dy/dx=[260*yx^(5y-1)- 3575*x^55x*(lnx+1)] / [2703*e^53y-260*x^5y*lnx]

=1 [260*y*x^(5y-1) -3575*x^55x*(lnx+1)]/( 2703e^53y-260*x^5ylnx)。

3、※.函数法

设F(x,y)=65x^55x+51e^53y-52x^5y，则F对x,y的偏导数有：

F'x=65e^(55xlnx)*(55lnx+55)-52e^(5ylnx)*5y/x

=3575*e^(55xlnx)(lnx+1)-260*x^5y*y/x

=3575*x^55x*(lnx+1)-260*y*x^(5y-1),

F'y=2703*e^53y-52e^(5ylnx)* 5lnx

=2703*e^53y-260*x^5y*lnx。

此时所求函数y对x的导数有：

y'=-F'x/ F'y

=-[3575*x^55x*(lnx+1)- 260*y*x^(5y-1)]/(2703*e^53y-260*x^5y*lnx),

=[260*y*x^(5y-1) -3575*x^55x*(lnx+1)]/(2703e^53y-260*x^5ylnx)。