七道数学极限练习题及计算过程A7

本经验以极限分子分母根据所求极限条件，以及使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e和三角函数公式，介绍7种不同情形下函数极限的计算过程。

1.(28n²-3)/(30n⁴+11n-2)

1、解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：lim(n→∞)(28n²-3)/(30n⁴+11n-2)=lim(n→∞)(28/n-3/n⁴)/(30+11/n³-2/n⁴),=0。

2.计算(20n-32n-21)/(34+18n-27n²)

1、解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：lim(n→∞)(20n²-32n-21)/(34+18n-27n²)=lim(n→∞)(20-32/n-21/n²)/(34/n+18/n-27),=(20-0)/(0-27),=-20/27。

2、 思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：lim(n→∞)(20n²-32n-21)/(34+18n-27n²)=lim(n→∞)(40n-32)/(18-54n)，继续使用罗必塔法则，=lim(n→∞)(40-0)/(0-54)，=-20/27。

3.求极限(x³-41x+40)/(x⁴-29x+28)

1、解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：lim(x→1)(x³-41x+40)/(x⁴-29x+28)=lim(x→1)(x-1)(x²+x-40)/[(x-1)(x³+x²+x-28)],=lim(x→1)(x²+x-40)/(x³+x²+x-28),=(1+1-40)/(1+1+1-28),=38/25。

4.求(7x+15sin10x)/(29x-36sin11x)

1、解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：lim(x→0)(7x+15sin10x)/(29x-36sin11x)，=lim(x→0)(7+15sin10x/x)/(29-36sin11x/x)，=lim(x→0)(7+150sin10x/10x)/(29-396sin11x/11x)，=(7+150)/(29-396)，=-157/367。

2、思路二：使用罗必塔法则计算有：lim(x→0)(7x+15sin10x)/(29x-36sin11x)，=lim(x→0)(7+15*10cos10x)/(29-36*11cos11x)，=(7+15*10)/(29-36*11)，=-157/367。

5.求(x²sin1/x)/(16x+56)。

1、解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：lim(x→∞)(x²sin1/x)/(16x+56)=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(16x+56)/x],=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[16+(56/x)],=1/{lim(x→∞)[16+(56/x)]},=1/16。

6.求lim(sin35x-sin41x)/sin3x.

1、解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：lim(x→0)(sin35x-sin41x)/sin3x=lim(x→0)2cos38xsin(-3x)/sin3x,=lim(x→0)-2cos38x,=-2cos0=-2。

2、思路二：使用罗必塔法则计算有：lim(x→0)(sin35x-sin41x)/sin3x,=lim(x→0)(35cos35x-sin41cos41x)/(3cos3x)，=lim(x→0)(35-41)/3，=-2。

7.求lim(1+14x)^(14/11x)。

1、解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：lim(x→0)(1+14x)^(14/11x),=lim(x→0){[(1+14x)^(1/14x)]}^(14*14/11),=e^(14*14/11),=e^(196/11)。