导数的定义基本运算几何意义及应用举例D7

1、※.导数的定义应用举例[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)屏顿幂垂=lim(△x→0)[f(x+△x)幻腾寂埒-f(x)]/(△x).例题1：设函数f(x)在x=14处的导数为23，则极限lim(△x→0)[f(14+62△x)-f(14)]/(9△x)的值是多少？解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为23，其定义为：lim(△x→0)[f(14+△x)-f(14)]/(△x)= 23。对所求极限进行变形有：lim(△x→0) 62*[f(14+62△x)-f(14)]/(9*62△x)=lim(△x→0) (62/9)*[f(14+62△x)-f(14)]/(62△x),=(62/9)lim(△x→0) [f(14+62△x)-f(14)]/(62△x),=(62/9)*23,=1426/9.

2、例题2:有一物体的运动方程为s(t)=22t²+7/t(t是时间，s是位移)，则该物体在时刻t=7时的瞬时速度为多少？解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：v(t)=s'(t)=(22t²+7/t)',=2*22t-7/t²,当t=7时，有：v(7)=2*22*7-7/7²,v(7)=307/7,所以物体在时刻t=7时的瞬时速度为307/7。

3、※.导数的基本运算举例例题1：已知函数f(x)=(42x-65)lnx-48x²,求导数f'(1)的值。解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。∵f(x)= (42x-65)lnx-48x²，∴f'(x)=42lnx+(42x-65)*(1/x)-2*48x =42lnx+(42x-65)/x-96x.所以: f'(1)=0+42-65-96=-119.即为本题所求的值。

4、例题2:已知函数f(x)屏顿幂垂=-(3/32)x²+32xf'(9600)+9600lnx，求f'(9600)的值。解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。∵f(x)=-(3/32)x²+32xf'(9600)+9600lnx，∴f' (x)=-2*(3/32)x+32f'(9600)+9600/x,则当x=9600时，有:f'(9600)=-2*(3/32)*9600+32f'(9600)+9600/9600,即:-2*(3/32)*9600+31f'(9600)+1=0,所以: f'(9600)=1799/31.

5、※.导数的几何意义应用举例例题1：求函数f(x)=x(8x+11)³的图像在点(2,f(2))处的切线的斜率k。 [知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。解：本题对函数求导有：f' (x)=(8x+11)³+3x(8x+11)²*8=(8x+11)²*(8x+11+3*8x)=(8x+11)²*(4*8x+11) 当x=2时，有： 斜率k=f'(2)=(8*2+11)²*(4*8*2+11)=729*75=54675，即为本题所求的值。

6、例题2：若曲线y=34x/12-21lnx在x=x₀处的切斜的斜率为9/4,则x₀的值是多少?解：对曲线y进行求导，有：y'=34/12-21/x，根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：34/12-21/x₀=9/4，即：21/x₀=34/12-9/4=7/12,所以x₀=36.

7、※.导数解析函数单调性应用举例[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。例题1:已知函数f(x)=-4lnx+5x²/5+115，计算函数f(x)的单调递减区间。解：对函数进行求导，有：∵f(x)=- 4lnx+5x²/5+115∴f'(x)=- 4/x+2*5x/5，本题要求函数的单调减区间，则：-4/x+2*5x/5＜0，(-4*5+2*5x²)/(5x)＜0，又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.故不等式解集等同于：2*5x²＜4*5，即：x²＜2,所以解集为：(0,√2).

8、例题2:已知函数f(x)=(x²+29x+303)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。解：对函数求一阶导数有：∵f(x)=(x²+29x+303)/eˣ∴f'(x)=[(2x+29)eˣ-(x²+29x+303)eˣ]/e^(2x),=(2x+29-x²-29x-303)/eˣ,=-(x²+27x+274)/eˣ,对于函数g(x)=x²+27x+274，其判别式为： △=27²-4*274=-367<0, 即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0， 此时:f'(x)= -(x²+27x+274)/eˣ＜0， 所以函数f(x)=(x²+29x+303)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。