已知2a+35b=9,七种方法计算ab最大值详细步骤

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。

思路一：直接代入法

1、根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。ab=a(9/35-2/35*a)=-2/35*a^2+9/35*a=-2/35(a-9/4)^2+81/280，则当a=9/4时，ab有最大值为81/280。

思路二：判别式法

1、设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。2a+35b=9,2a+35p/a=9,2a^2-9a+35p=0,对a的二次方程有：判别式△=81-280p≥0,即：p≤81/280,此时得ab=p的最大值=81/280。

思路三：三角换元法

1、将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。由2a+35b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，设2a=9(cost像粜杵泳)^2，35b=9(sint)^2，则：a=(cost)^2,b=9/35(sint)^2,代入得：ab=(cost)^2*9/35(sint)^2,=81/280*(sin2t)^2,当sin2t=±1时，ab有最大值=81/280。

思路四：中值代换法

1、设2a=9/2+t,35b=9/2-t，则：a=(1/2)(9/2+t),b=(1/35)(9/2-t)此时有：ab=1/70*(9/2+t)*(9/2-t)=1/70*(81/4-t^2)。当t=0时，即：ab≤81/280,则ab的最大值为81/280。

思路五：不等式法

1、当a，b均为正数时，则：∵2a+35b≥2√70*ab,∴(2a+35b)^2≥280*ab,81≥280*ab,即：ab≤81/280,则ab的最大值为81/280。

思路六：数形几何法

1、如图，设直线2a+35b=9上的任意一点P(a0,b0)

思路七:构造函数法

1、设函数f(a,b)=ab-λ(2a+35b-9),则偏导数f'a=b-2λ,f'b=a幻腾寂埒-35λ,f'λ=2a+35b-9。令f'a=f'b=f'λ=0，则：b=2λ,a=35λ。进一步代入得：70λ+70λ=9,即λ=9/140.则有a=9/4,b=9/70.ab的最大值=9/4*9/70=81/280。