导数画方程曲线y=e^(259x+175y)图像画法

1、※.方程曲线的定义域

方程曲线表达式为y=e^(259x+175y),即y>0,取对数有：

lny=259x+175y，则：259x=lny-175y.

设259x=F(y)=lny-175y,把y看成自变量，求导得：

F'(y)=(1/y)-175=(1-175y)/y.

令F'(y)=0，则y=1/175≈0.006.

1)当0<y<1/175时，F'(y)>0;

2)当y>1/175时，F'(y)<0。

所以，当y=1/175时，F(y)有最大值，即：

259x≤F(y)max=-(1+ln175)

x≤-(1+ln175)/259≈-0.024.

即方程曲线的定义域为：(-∞，-0.024]。

2、※.方程曲线的单调性

对方程两边同时对x求导，得：

y=e^(259x+175y)

y'=e^(259x+175y)(259+175y＇)

y'=259e^(259x+175y)/[1-175e^(259x+175y)]

即：y'=259y/(1-175y).

导数y'的符号与(1-175y)的符号一致，方程曲线的单调性为：

(1).当y∈(0,1/175]时，y'＞0，此时方程y随x的增大而增大；

(2).当y∈(1/175,+∞）时，y'＜0，此时方程y随x的增大而减小。

3、※.方程曲线的凸凹性

∵y'=-259y/(175y-1)，

∴y"=-259[y'(175y-1)-175yy']/(175y-1)²

=-259y'/(175y-1)²

=259²y/(1-175y)³，则y"的符号与(1-175y)的符号一致。

方程曲线的凸凹区间为：

(1)当y∈(0,1/175]时，y"＞0，此时方程曲线y为凹曲线;

(2)当y∈(1/175,+∞）时，y"＜0，此时方程曲线y为凸曲线。

4、※.函数的图像示意图

函数上部分点解析如下表所示，综合函数的单调性和凸凹性，并结合函数的定义域，即可画出函数的图像示意图。