七道数学极限练习题及计算过程C16

1、1.计算lim(n→∞)(15n²-6)/(25n⁴+14n-23)

解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。

本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：

lim(n→∞)(15n²-6)/(25n⁴+14n-23)

=lim(n→∞)(15/n-6/n⁴)/(25+14/n³-23/n⁴),

=0。

2、2.计算lim(n→∞)(16n-16n-24)/(21+4n-23n²)

解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：

lim(n→∞)(16n²-16n-24)/(21+4n-23n²)

=lim(n→∞)(16-16/n-24/n²)/(21/n+4/n-23),

=(16-0)/(0-23),

=-16/23。

3、思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：

lim(n→∞)( 16n²-16n-24)/(21+4n-23n²)

=lim(n→∞)(32n-16)/(4-46n)，继续使用罗必塔法则，

=lim(n→∞)(32-0)/(0-46)，

=-16/23。

4、3.求极限lim(x→1)(x³-23x+22)/(x⁴-31x+30)

解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：

lim(x→1)(x³-23x+22)/(x⁴-31x+30)

=lim(x→1)(x-1)(x²+x-22)/[(x-1)(x³+x²+x-30)],

=lim(x→1)(x²+x-22)/(x³+x²+x-30),

=(1+1-22)/(1+1+1-30),

=20/27。

5、4.求lim(x→0)(6x+28sin9x)/(28x-16sin10x)

解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：

lim(x→0)(6x+28sin9x)/(28x-16sin10x)，

=lim(x→0)(6+28sin9x/x)/(28-16sin10x/x)，

=lim(x→0)(6+252sin9x/9x)/(28-160sin10x/10x)，

=(6+252)/(28-160)，

=-43/22。

6、思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(6x+28sin9x)/(28x-16sin10x)，

=lim(x→0)(6+28*9cos9x)/(28-16*10cos10x)，

=(6+28*9)/(28-16*10)，

=-43/22。

7、5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(33x+47)。

解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：

lim(x→∞)(x²sin1/x)/(33x+47)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(33x+47)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[33+(47/x)],

=1/{lim(x→∞)[33+(47/x)]},

=1/33。

8、6.求lim(x→0)(sin27x-sin3x)/sin12x.

解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：

lim(x→0)(sin27x-sin3x)/sin12x

=lim(x→0)2cos15xsin(12x)/sin12x,

=lim(x→0) 2cos15x,

=2cos0=2。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(sin27x-sin3x)/sin12x,

=lim(x→0)(27cos27x-sin3cos3x)/(12cos12x)，

=lim(x→0)(27-3)/12，

=2。

9、7.求lim(x→0)(1+4x)^(19/4x)。

解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：

lim(x→0)(1+4x)^(19/4x),

=lim(x→0){[(1+4x)^(1/4x)]}^(19*4/4),

=e^(19*4/4),

=e^19。