数学极限练习题及计算过程举例A17

1、1.计算lim(n→∞)(45n-34n-16)/(28+15n-38n²)

解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：

lim(n→∞)(45n²-34n-16)/(28+15n-38n²)

=lim(n→∞)(45-34/n-16/n²)/(28/n+15/n-38),

=(45-0)/(0-38),

=-45/38。

2、  思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：

lim(n→∞)( 45n²-34n-16)/(28+15n-38n²)

=lim(n→∞)(90n-34)/(15-76n)，继续使用罗必塔法则，

=lim(n→∞)(90-0)/(0-76)，

=-45/38。

3、2.求极限lim(x→1)(x³-24x+23)/(x⁴-33x+32)

解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：

lim(x→1)(x³-24x+23)/(x⁴-33x+32)

=lim(x→1)(x-1)(x²+x-23)/[(x-1)(x³+x²+x-32)],

=lim(x→1)(x²+x-23)/(x³+x²+x-32),

=(1+1-23)/(1+1+1-32),

=21/29。

4、3.求lim(x→0)(16x+14sin10x)/(29x-43sin6x)

解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：

lim(x→0)(16x+14sin10x)/(29x-43sin6x)，

=lim(x→0)(16+14sin10x/x)/(29-43sin6x/x)，

=lim(x→0)(16+140sin10x/10x)/(29-258sin6x/6x)，

=(16+140)/(29-258)，

=-156/229。

5、思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(16x+14sin10x)/(29x-43sin6x)，

=lim(x→0)(16+14*10cos10x)/(29-43*6cos6x)，

=(16+14*10)/(29-43*6)，

=-156/229。

6、 

4.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(3x+2)。

解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：

lim(x→∞)(x²sin1/x)/(3x+2)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(3x+2)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[3+(2/x)],

=1/{lim(x→∞)[3+(2/x)]},

=1/3。

7、5.求lim(x→0)(sin37x-sin69x)/sin16x.

解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：

lim(x→0)(sin37x-sin69x)/sin16x

=lim(x→0)2cos53xsin(-16x)/sin16x,

=lim(x→0) -2cos53x,

=-2cos0=-2。

8、思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(sin37x-sin69x)/sin16x,

=lim(x→0)(37cos37x-sin69cos69x)/(16cos16x)，

=lim(x→0)(37-69)/16，

=-2。