七道数学极限练习题及计算过程C14

1、1.计算lim(n→∞)(27n²-24)/(4n⁴+17n-10)

解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。

本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：

lim(n→∞)(27n²-24)/(4n⁴+17n-10)

=lim(n→∞)(27/n-24/n⁴)/(4+17/n³-10/n⁴),

=0。

2、2.计算lim(n→∞)(9n-2n-22)/(8+4n-16n²)

解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：

lim(n→∞)(9n²-2n-22)/(8+4n-16n²)

=lim(n→∞)(9-2/n-22/n²)/(8/n+4/n-16),

=(9-0)/(0-16),

=-9/16。

3、思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：

lim(n→∞)( 9n²-2n-22)/(8+4n-16n²)

=lim(n→∞)(18n-2)/(4-32n)，继续使用罗必塔法则，

=lim(n→∞)(18-0)/(0-32)，

=-9/16。

4、3.求极限lim(x→1)(x³-35x+34)/(x⁴-15x+14)

解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：

lim(x→1)(x³-35x+34)/(x⁴-15x+14)

=lim(x→1)(x-1)(x²+x-34)/[(x-1)(x³+x²+x-14)],

=lim(x→1)(x²+x-34)/(x³+x²+x-14),

=(1+1-34)/(1+1+1-14),

=32/11。

5、4.求lim(x→0)(5x+28sin8x)/(13x-38sin7x)

解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：

lim(x→0)(5x+28sin8x)/(13x-38sin7x)，

=lim(x→0)(5+28sin8x/x)/(13-38sin7x/x)，

=lim(x→0)(5+224sin8x/8x)/(13-266sin7x/7x)，

=(5+224)/(13-266)，

=-229/253。

6、思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(5x+28sin8x)/(13x-38sin7x)，

=lim(x→0)(5+28*8cos8x)/(13-38*7cos7x)，

=(5+28*8)/(13-38*7)，

=-229/253。

7、5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(39x+29)。

解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：

lim(x→∞)(x²sin1/x)/(39x+29)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(39x+29)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[39+(29/x)],

=1/{lim(x→∞)[39+(29/x)]},

=1/39。

8、6.求lim(x→0)(sin21x-sin31x)/sin5x.

解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：

lim(x→0)(sin21x-sin31x)/sin5x

=lim(x→0)2cos26xsin(-5x)/sin5x,

=lim(x→0) -2cos26x,

=-2cos0=-2。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(sin21x-sin31x)/sin5x,

=lim(x→0)(21cos21x-sin31cos31x)/(5cos5x)，

=lim(x→0)(21-31)/5，

=-2。

9、7.求lim(x→0)(1+4x)^(27/16x)。

解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：

lim(x→0)(1+4x)^(27/16x),

=lim(x→0){[(1+4x)^(1/4x)]}^(27*4/16),

=e^(27*4/16),

=e^(27/4)。