计算ab在条件a+40b=9时最大值的主要过程和步骤

1、介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在a+40b=9条件下的最大值。

2、根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。ab=a(9/40-1/40*a)=-1/40*a^2+9/40*a=-1/40(a-9/2)^2+81/160，则当a=9/2时，ab有最大值为81/160。

3、设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。a+40b=9,a+40p/a=9,a^2-9a+40p=0,对a的二次方程有：判别式△=81-160p≥0,即：p≤81/160,此时得ab=p的最大值=81/160。

4、将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。由a+40b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，设a=9(cost)^2，40b=9(sint)^2，则：a=9(cost)^2,b=9/40(sint)^2,代入得：ab=9(cost)^2*9/40(sint)^2,=81/160*(sin2t)^2,当sin2t=±1时，ab有最大值=81/160。

5、设a=9/2+t,40b=9/2-t，则：a=(9/2+t),b=(1/40)(9/2-t)此时有：ab=1/40*(9/2+t)*(9/2-t)=1/40*(81/4-t^2)。当t=0时，即：ab≤81/160,则ab的最大值为81/160。

6、当a，b均为正数时，则：∵a+40b≥2√40*ab,∴(a+40b)^2≥160*ab,81≥160*ab,即：ab≤81/160,则ab的最大值为81/160。

7、如图，设直线a+40b=9上的任意一点P(a0,b0),op与x轴的夹角为θ，则： a0+40b0=9,b0=a0tanθ, a0+40a0tanθ=9，得a0=9/(1+40tanθ), |a0*b0|=81*|tanθ|/(1+40tanθ)^2,=81/[(1/|tanθ|)+80+1600|tanθ|]≤81/(80+80)=81/160。则ab的最大值=81/160.

8、设函数f(a,b)=ab-λ(a+40b-9),则偏导数f'a=b-λ,f'b=a-40λ,f'λ=a+40b-9。令f'a=f'b=f'λ=0，则：b=λ,a=40λ。进一步代入得：40λ+40λ=9,即λ=9/80.则有a=9/2,b=9/80.ab的最大值=9/2*9/80=81/160。