导数的定义基本运算几何意义及应用举例D15

1、※.导数的定义应用举例[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)屏顿幂垂=lim(△x→0)[f(x+△x)幻腾寂埒-f(x)]/(△x).例题1：设函数f(x)在x=6处的导数为14，则极限lim(△x→0)[f(6+19△x)-f(6)]/(4△x)的值是多少？解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为14，其定义为：lim(△x→0)[f(6+△x)-f(6)]/(△x)= 14。对所求极限进行变形有：lim(△x→0) 19*[f(6+19△x)-f(6)]/(4*19△x)=lim(△x→0) (19/4)*[f(6+19△x)-f(6)]/(19△x),=(19/4)lim(△x→0) [f(6+19△x)-f(6)]/(19△x),=(19/4)*14,=133/2.

2、例题2:有一物体的运动方程为s(t)=9t²+56/t(t是时间，s是位移)，则该物体在时刻t=3时的瞬时速度为多少？解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：v(t)=s'(t)=(9t²+56/t)',=2*9t-56/t²,当t=3时，有：v(3)=2*9*3-56/3²,v(3)=106/9,所以物体在时刻t=3时的瞬时速度为106/9。

3、※.导数的基本运算举例例题1：已知函数f(x)=(191x-102)lnx-4x²,求导数f'(1)的值。解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。∵f(x)= (191x-102)lnx-4x²，∴f'(x)=191lnx+(191x-102)*(1/x)-2*4x =191lnx+(191x-102)/x-8x.所以: f'(1)=0+191-102-8=81.即为本题所求的值。

4、例题2:已知函数f(x)=-(19/24)x²+22xf'(4800)+4800lnx，求f'(4800)的值。解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。∵f(x)=-(19/24)x²+22xf'(4800)+4800lnx，∴f' (x)=-2*(19/24)x+22f'(4800)+4800/x,则当x=4800时，有:f'(4800)=-2*(19/24)*4800+22f'(4800)+4800/4800,即:-2*(19/24)*4800+21f'(4800)+1=0,所以: f'(4800)= 2533/7.

5、※.导数的几何意义应用举例例题1：求函数f(x)=x(7x+8)³的图像在点(-2,f(-2))处的切线的斜率k。 [知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。解：本题对函数求导有：f' (x)=(7x+8)³+3x(7x+8)²*7=(7x+8)²*(7x+8+3*7x)=(7x+8)²*(4*7x+8) 当x=-2时，有： 斜率k=f'(-2)=(7*-2+8)²*(4*7*-2+8)=36*-48=-1728，即为本题所求的值。

6、例题2：若曲线y=21x/5-23lnx在x=x₀处的切斜的斜率为9/3,则x₀的值是多少?解：对曲线y进行求导，有：y'=21/5-23/x，根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：21/5-23/x₀=9/3，即：23/x₀=21/5-9/3=6/5,所以x₀=115/6.

7、※.导数解析函数单调性应用举例[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若垓矗梅吒x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x像粜杵泳)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。例题1:已知函数f(x)=-14lnx+15x²/11+79，计算函数f(x)的单调递减区间。解：对函数进行求导，有：∵f(x)=- 14lnx+15x²/11+79∴f'(x)=- 14/x+2*15x/11，本题要求函数的单调减区间，则：-14/x+2*15x/11＜0，(-14*11+2*15x²)/(11x)＜0，又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.故不等式解集等同于：2*15x²＜14*11，即：x²＜77/15,所以解集为：(0,(1/15)*√1155).

8、例题2:已知函数f(x)=(x²+39x+387)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。解：对函数求一阶导数有：∵f(x)=(x²+39x+387)/eˣ∴f'(x)=[(2x+39)eˣ-(x²+39x+387)eˣ]/e^(2x),=(2x+39-x²-39x-387)/eˣ,=-(x²+37x+348)/eˣ,对于函数g(x)=x²+37x+348，其判别式为： △=37²-4*348=-23<0, 即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0， 此时:f'(x)= -(x²+37x+348)/eˣ＜0， 所以函数f(x)=(x²+39x+387)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。